Lutasin ang {l}{-8x-6y=-10}{x-y=17}

$$\left. \begin{array} { l } { - 8 x - 6 y = - 10 } \\ { x - y = 17 } \end{array} \right.$$

I-solve ang x, y

$$x=8$$

$$y=-9$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Substitution

Para mag-solve ng pares ng mga equation gamit ang substitution, i-solve muna ang isa sa mga equation para sa isa sa mga variable. Pagkatapos, i-substitute ang result para sa variable na iyon sa ibang equation.

$$-8x-6y=-10,x-y=17$$

Pumili ng isa sa mga equation at lutasin ito para sa x sa pamamagitan ng pag-isolate sa x sa kaliwang bahagi ng equal sign.

$$-8x-6y=-10$$

Idagdag ang 6y sa magkabilang dulo ng equation.

$$-8x=6y-10$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang -8.

$$x=-\frac{1}{8}\left(6y-10\right)$$

I-multiply ang -\frac{1}{8} times 6y-10.

$$x=-\frac{3}{4}y+\frac{5}{4}$$

I-substitute ang \frac{-3y+5}{4} para sa x sa kabilang equation na x-y=17.

$$-\frac{3}{4}y+\frac{5}{4}-y=17$$

Idagdag ang -\frac{3y}{4} sa -y.

$$-\frac{7}{4}y+\frac{5}{4}=17$$

I-subtract ang \frac{5}{4} mula sa magkabilang dulo ng equation.

$$-\frac{7}{4}y=\frac{63}{4}$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang -\frac{7}{4}, na katumbas ng pagmu-multiply sa magkabilang dulo ng reciprocal ng fraction.

$$y=-9$$

I-substitute ang -9 para sa y sa x=-\frac{3}{4}y+\frac{5}{4}. Dahil ang nagreresultang equation ay naglalaman lang ng isang variable, maaari mong i-solve ang x nang direkta.

$$x=-\frac{3}{4}\left(-9\right)+\frac{5}{4}$$

I-multiply ang -\frac{3}{4} times -9.

$$x=\frac{27+5}{4}$$

Idagdag ang \frac{5}{4} sa \frac{27}{4} sa pamamagitan ng paghahanap ng common denominator at pagdadagdag sa mga numerator. Pagkatapos ay ibawas ang fraction sa lowest terms nito kung posible.

$$x=8$$

Nalutas na ang system.

$$x=8,y=-9$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Mga Matrix

Ilagay ang mga equation sa standard form at pagkatapos ay gumamit ng mga matrix para i-solve ang system ng mga equation.

$$-8x-6y=-10,x-y=17$$

Isulat ang mga equation sa matrix form.

$$\left(\begin{matrix}-8&-6\\1&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-10\\17\end{matrix}\right)$$

I-multiply sa kaliwa ang equation sa pamamagitan ng inverse matrix ng \left(\begin{matrix}-8&-6\\1&-1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}-8&-6\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-8&-6\\1&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-8&-6\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-10\\17\end{matrix}\right)$$

Ang product ng isang matrix at ang inverse nito ay ang identity matrix.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-8&-6\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-10\\17\end{matrix}\right)$$

I-multiply ang mga matrix sa kaliwang panig ng equal sign.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-8&-6\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-10\\17\end{matrix}\right)$$

Para sa 2\times 2 na matrix \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), ang inverse matrix ay \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), kaya maaaring muling isulat ang equation ng matrix bilang problema sa multiplication ng matrix.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{-8\left(-1\right)-\left(-6\right)}&-\frac{-6}{-8\left(-1\right)-\left(-6\right)}\\-\frac{1}{-8\left(-1\right)-\left(-6\right)}&-\frac{8}{-8\left(-1\right)-\left(-6\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-10\\17\end{matrix}\right)$$

Gumamit ka ng arithmetic.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{14}&\frac{3}{7}\\-\frac{1}{14}&-\frac{4}{7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-10\\17\end{matrix}\right)$$

I-multiply ang mga matrix.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{14}\left(-10\right)+\frac{3}{7}\times 17\\-\frac{1}{14}\left(-10\right)-\frac{4}{7}\times 17\end{matrix}\right)$$

Gumamit ka ng arithmetic.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}8\\-9\end{matrix}\right)$$

I-extract ang mga matrix element na x at y.

$$x=8,y=-9$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Elimination

Para mag-solve gamit ang elimination, ang mga coefficient ng isa sa mga variable ay dapat na magkatulad sa dalawang equation nang sa gayon ay magka-cancel out ang variable kapag na-substract ang equation sa kabila.

$$-8x-6y=-10,x-y=17$$

Para gawing magkatumbas ang -8x at x, i-multiply ang lahat ng term sa magkabilang dulo ng unang equation gamit ang 1 at lahat ng term sa magkabilang dulo ng pangalawa gamit ang -8.

$$-8x-6y=-10,-8x-8\left(-1\right)y=-8\times 17$$

Pasimplehin.

$$-8x-6y=-10,-8x+8y=-136$$

I-subtract ang -8x+8y=-136 mula sa -8x-6y=-10 sa pamamagitan ng pagsu-subtract ng mga katulad na term sa bawat dulo ng equal sign.

$$-8x+8x-6y-8y=-10+136$$

Idagdag ang -8x sa 8x. Naka-cancel out ang term na -8x at 8x ang isa\'t isa, at mag-iiwan ito ng equation na may isang variable lang na maaaring lutasin.

$$-6y-8y=-10+136$$

Idagdag ang -6y sa -8y.

$$-14y=-10+136$$

Idagdag ang -10 sa 136.

$$-14y=126$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang -14.

$$y=-9$$

I-substitute ang -9 para sa y sa x-y=17. Dahil ang nagreresultang equation ay naglalaman lang ng isang variable, maaari mong i-solve ang x nang direkta.

$$x-\left(-9\right)=17$$

I-subtract ang 9 mula sa magkabilang dulo ng equation.

$$x=8$$

Nalutas na ang system.

$$x=8,y=-9$$