Lutasin ang {l}{-8x+4y=8}{8x-y=16}

$$\left. \begin{array} { l } { - 8 x + 4 y = 8 } \\ { 8 x - y = 16 } \end{array} \right.$$

I-solve ang x, y

$$x=3$$

$$y=8$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Substitution

Para mag-solve ng pares ng mga equation gamit ang substitution, i-solve muna ang isa sa mga equation para sa isa sa mga variable. Pagkatapos, i-substitute ang result para sa variable na iyon sa ibang equation.

$$-8x+4y=8,8x-y=16$$

Pumili ng isa sa mga equation at lutasin ito para sa x sa pamamagitan ng pag-isolate sa x sa kaliwang bahagi ng equal sign.

$$-8x+4y=8$$

I-subtract ang 4y mula sa magkabilang dulo ng equation.

$$-8x=-4y+8$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang -8.

$$x=-\frac{1}{8}\left(-4y+8\right)$$

I-multiply ang -\frac{1}{8} times -4y+8.

$$x=\frac{1}{2}y-1$$

I-substitute ang \frac{y}{2}-1 para sa x sa kabilang equation na 8x-y=16.

$$8\left(\frac{1}{2}y-1\right)-y=16$$

I-multiply ang 8 times \frac{y}{2}-1.

$$4y-8-y=16$$

Idagdag ang 4y sa -y.

$$3y-8=16$$

Idagdag ang 8 sa magkabilang dulo ng equation.

$$3y=24$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang 3.

$$y=8$$

I-substitute ang 8 para sa y sa x=\frac{1}{2}y-1. Dahil ang nagreresultang equation ay naglalaman lang ng isang variable, maaari mong i-solve ang x nang direkta.

$$x=\frac{1}{2}\times 8-1$$

I-multiply ang \frac{1}{2} times 8.

$$x=4-1$$

Idagdag ang -1 sa 4.

$$x=3$$

Nalutas na ang system.

$$x=3,y=8$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Mga Matrix

Ilagay ang mga equation sa standard form at pagkatapos ay gumamit ng mga matrix para i-solve ang system ng mga equation.

$$-8x+4y=8,8x-y=16$$

Isulat ang mga equation sa matrix form.

$$\left(\begin{matrix}-8&4\\8&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}8\\16\end{matrix}\right)$$

I-multiply sa kaliwa ang equation sa pamamagitan ng inverse matrix ng \left(\begin{matrix}-8&4\\8&-1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}-8&4\\8&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-8&4\\8&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-8&4\\8&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\16\end{matrix}\right)$$

Ang product ng isang matrix at ang inverse nito ay ang identity matrix.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-8&4\\8&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\16\end{matrix}\right)$$

I-multiply ang mga matrix sa kaliwang panig ng equal sign.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-8&4\\8&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\16\end{matrix}\right)$$

Para sa 2\times 2 na matrix \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), ang inverse matrix ay \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), kaya maaaring muling isulat ang equation ng matrix bilang problema sa multiplication ng matrix.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{-8\left(-1\right)-4\times 8}&-\frac{4}{-8\left(-1\right)-4\times 8}\\-\frac{8}{-8\left(-1\right)-4\times 8}&-\frac{8}{-8\left(-1\right)-4\times 8}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}8\\16\end{matrix}\right)$$

Gumamit ka ng arithmetic.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{24}&\frac{1}{6}\\\frac{1}{3}&\frac{1}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}8\\16\end{matrix}\right)$$

I-multiply ang mga matrix.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{24}\times 8+\frac{1}{6}\times 16\\\frac{1}{3}\times 8+\frac{1}{3}\times 16\end{matrix}\right)$$

Gumamit ka ng arithmetic.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\8\end{matrix}\right)$$

I-extract ang mga matrix element na x at y.

$$x=3,y=8$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Elimination

Para mag-solve gamit ang elimination, ang mga coefficient ng isa sa mga variable ay dapat na magkatulad sa dalawang equation nang sa gayon ay magka-cancel out ang variable kapag na-substract ang equation sa kabila.

$$-8x+4y=8,8x-y=16$$

Para gawing magkatumbas ang -8x at 8x, i-multiply ang lahat ng term sa magkabilang dulo ng unang equation gamit ang 8 at lahat ng term sa magkabilang dulo ng pangalawa gamit ang -8.

$$8\left(-8\right)x+8\times 4y=8\times 8,-8\times 8x-8\left(-1\right)y=-8\times 16$$

Pasimplehin.

$$-64x+32y=64,-64x+8y=-128$$

I-subtract ang -64x+8y=-128 mula sa -64x+32y=64 sa pamamagitan ng pagsu-subtract ng mga katulad na term sa bawat dulo ng equal sign.

$$-64x+64x+32y-8y=64+128$$

Idagdag ang -64x sa 64x. Naka-cancel out ang term na -64x at 64x ang isa\'t isa, at mag-iiwan ito ng equation na may isang variable lang na maaaring lutasin.

$$32y-8y=64+128$$

Idagdag ang 32y sa -8y.

$$24y=64+128$$

Idagdag ang 64 sa 128.

$$24y=192$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang 24.

$$y=8$$

I-substitute ang 8 para sa y sa 8x-y=16. Dahil ang nagreresultang equation ay naglalaman lang ng isang variable, maaari mong i-solve ang x nang direkta.

$$8x-8=16$$

Idagdag ang 8 sa magkabilang dulo ng equation.

$$8x=24$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang 8.

$$x=3$$

Nalutas na ang system.

$$x=3,y=8$$