Lutasin ang {l}{-7x+8y=-1}{-6x-4y=15}

$$\left. \begin{array} { l } { - 7 x + 8 y = - 1 } \\ { - 6 x - 4 y = 15 } \end{array} \right.$$

I-solve ang x, y

$$x = -\frac{29}{19} = -1\frac{10}{19} \approx -1.526315789$$

$$y = -\frac{111}{76} = -1\frac{35}{76} \approx -1.460526316$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Substitution

Para mag-solve ng pares ng mga equation gamit ang substitution, i-solve muna ang isa sa mga equation para sa isa sa mga variable. Pagkatapos, i-substitute ang result para sa variable na iyon sa ibang equation.

$$-7x+8y=-1,-6x-4y=15$$

Pumili ng isa sa mga equation at lutasin ito para sa x sa pamamagitan ng pag-isolate sa x sa kaliwang bahagi ng equal sign.

$$-7x+8y=-1$$

I-subtract ang 8y mula sa magkabilang dulo ng equation.

$$-7x=-8y-1$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang -7.

$$x=-\frac{1}{7}\left(-8y-1\right)$$

I-multiply ang -\frac{1}{7} times -8y-1.

$$x=\frac{8}{7}y+\frac{1}{7}$$

I-substitute ang \frac{8y+1}{7} para sa x sa kabilang equation na -6x-4y=15.

$$-6\left(\frac{8}{7}y+\frac{1}{7}\right)-4y=15$$

I-multiply ang -6 times \frac{8y+1}{7}.

$$-\frac{48}{7}y-\frac{6}{7}-4y=15$$

Idagdag ang -\frac{48y}{7} sa -4y.

$$-\frac{76}{7}y-\frac{6}{7}=15$$

Idagdag ang \frac{6}{7} sa magkabilang dulo ng equation.

$$-\frac{76}{7}y=\frac{111}{7}$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang -\frac{76}{7}, na katumbas ng pagmu-multiply sa magkabilang dulo ng reciprocal ng fraction.

$$y=-\frac{111}{76}$$

I-substitute ang -\frac{111}{76} para sa y sa x=\frac{8}{7}y+\frac{1}{7}. Dahil ang nagreresultang equation ay naglalaman lang ng isang variable, maaari mong i-solve ang x nang direkta.

$$x=\frac{8}{7}\left(-\frac{111}{76}\right)+\frac{1}{7}$$

I-multiply ang \frac{8}{7} times -\frac{111}{76} sa pamamagitan ng pagmu-multiply sa numerator times numerator at denominator times denominator. Pagkatapos, i-reduce ang fraction sa lowest terms nito kung posible.

$$x=-\frac{222}{133}+\frac{1}{7}$$

Idagdag ang \frac{1}{7} sa -\frac{222}{133} sa pamamagitan ng paghahanap ng common denominator at pagdadagdag sa mga numerator. Pagkatapos ay ibawas ang fraction sa lowest terms nito kung posible.

$$x=-\frac{29}{19}$$

Nalutas na ang system.

$$x=-\frac{29}{19},y=-\frac{111}{76}$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Mga Matrix

Ilagay ang mga equation sa standard form at pagkatapos ay gumamit ng mga matrix para i-solve ang system ng mga equation.

$$-7x+8y=-1,-6x-4y=15$$

Isulat ang mga equation sa matrix form.

$$\left(\begin{matrix}-7&8\\-6&-4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1\\15\end{matrix}\right)$$

I-multiply sa kaliwa ang equation sa pamamagitan ng inverse matrix ng \left(\begin{matrix}-7&8\\-6&-4\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}-7&8\\-6&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-7&8\\-6&-4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-7&8\\-6&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-1\\15\end{matrix}\right)$$

Ang product ng isang matrix at ang inverse nito ay ang identity matrix.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-7&8\\-6&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-1\\15\end{matrix}\right)$$

I-multiply ang mga matrix sa kaliwang panig ng equal sign.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-7&8\\-6&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-1\\15\end{matrix}\right)$$

Para sa 2\times 2 na matrix \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), ang inverse matrix ay \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), kaya maaaring muling isulat ang equation ng matrix bilang problema sa multiplication ng matrix.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{4}{-7\left(-4\right)-8\left(-6\right)}&-\frac{8}{-7\left(-4\right)-8\left(-6\right)}\\-\frac{-6}{-7\left(-4\right)-8\left(-6\right)}&-\frac{7}{-7\left(-4\right)-8\left(-6\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-1\\15\end{matrix}\right)$$

Gumamit ka ng arithmetic.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{19}&-\frac{2}{19}\\\frac{3}{38}&-\frac{7}{76}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-1\\15\end{matrix}\right)$$

I-multiply ang mga matrix.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{19}\left(-1\right)-\frac{2}{19}\times 15\\\frac{3}{38}\left(-1\right)-\frac{7}{76}\times 15\end{matrix}\right)$$

Gumamit ka ng arithmetic.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{29}{19}\\-\frac{111}{76}\end{matrix}\right)$$

I-extract ang mga matrix element na x at y.

$$x=-\frac{29}{19},y=-\frac{111}{76}$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Elimination

Para mag-solve gamit ang elimination, ang mga coefficient ng isa sa mga variable ay dapat na magkatulad sa dalawang equation nang sa gayon ay magka-cancel out ang variable kapag na-substract ang equation sa kabila.

$$-7x+8y=-1,-6x-4y=15$$

Para gawing magkatumbas ang -7x at -6x, i-multiply ang lahat ng term sa magkabilang dulo ng unang equation gamit ang -6 at lahat ng term sa magkabilang dulo ng pangalawa gamit ang -7.

$$-6\left(-7\right)x-6\times 8y=-6\left(-1\right),-7\left(-6\right)x-7\left(-4\right)y=-7\times 15$$

Pasimplehin.

$$42x-48y=6,42x+28y=-105$$

I-subtract ang 42x+28y=-105 mula sa 42x-48y=6 sa pamamagitan ng pagsu-subtract ng mga katulad na term sa bawat dulo ng equal sign.

$$42x-42x-48y-28y=6+105$$

Idagdag ang 42x sa -42x. Naka-cancel out ang term na 42x at -42x ang isa\'t isa, at mag-iiwan ito ng equation na may isang variable lang na maaaring lutasin.

$$-48y-28y=6+105$$

Idagdag ang -48y sa -28y.

$$-76y=6+105$$

Idagdag ang 6 sa 105.

$$-76y=111$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang -76.

$$y=-\frac{111}{76}$$

I-substitute ang -\frac{111}{76} para sa y sa -6x-4y=15. Dahil ang nagreresultang equation ay naglalaman lang ng isang variable, maaari mong i-solve ang x nang direkta.

$$-6x-4\left(-\frac{111}{76}\right)=15$$

I-multiply ang -4 times -\frac{111}{76}.

$$-6x+\frac{111}{19}=15$$

I-subtract ang \frac{111}{19} mula sa magkabilang dulo ng equation.

$$-6x=\frac{174}{19}$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang -6.

$$x=-\frac{29}{19}$$

Nalutas na ang system.

$$x=-\frac{29}{19},y=-\frac{111}{76}$$