Lutasin ang {l}{-5y+8x=-18}{5y+2x=58}

$$\left. \begin{array} { l } { - 5 y + 8 x = - 18 } \\ { 5 y + 2 x = 58 } \end{array} \right.$$

I-solve ang y, x

$$x=4$$

$$y=10$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Substitution

Para mag-solve ng pares ng mga equation gamit ang substitution, i-solve muna ang isa sa mga equation para sa isa sa mga variable. Pagkatapos, i-substitute ang result para sa variable na iyon sa ibang equation.

$$-5y+8x=-18,5y+2x=58$$

Pumili ng isa sa mga equation at lutasin ito para sa y sa pamamagitan ng pag-isolate sa y sa kaliwang bahagi ng equal sign.

$$-5y+8x=-18$$

I-subtract ang 8x mula sa magkabilang dulo ng equation.

$$-5y=-8x-18$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang -5.

$$y=-\frac{1}{5}\left(-8x-18\right)$$

I-multiply ang -\frac{1}{5} times -8x-18.

$$y=\frac{8}{5}x+\frac{18}{5}$$

I-substitute ang \frac{8x+18}{5} para sa y sa kabilang equation na 5y+2x=58.

$$5\left(\frac{8}{5}x+\frac{18}{5}\right)+2x=58$$

I-multiply ang 5 times \frac{8x+18}{5}.

$$8x+18+2x=58$$

Idagdag ang 8x sa 2x.

$$10x+18=58$$

I-subtract ang 18 mula sa magkabilang dulo ng equation.

$$10x=40$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang 10.

$$x=4$$

I-substitute ang 4 para sa x sa y=\frac{8}{5}x+\frac{18}{5}. Dahil ang nagreresultang equation ay naglalaman lang ng isang variable, maaari mong i-solve ang y nang direkta.

$$y=\frac{8}{5}\times 4+\frac{18}{5}$$

I-multiply ang \frac{8}{5} times 4.

$$y=\frac{32+18}{5}$$

Idagdag ang \frac{18}{5} sa \frac{32}{5} sa pamamagitan ng paghahanap ng common denominator at pagdadagdag sa mga numerator. Pagkatapos ay ibawas ang fraction sa lowest terms nito kung posible.

$$y=10$$

Nalutas na ang system.

$$y=10,x=4$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Mga Matrix

Ilagay ang mga equation sa standard form at pagkatapos ay gumamit ng mga matrix para i-solve ang system ng mga equation.

$$-5y+8x=-18,5y+2x=58$$

Isulat ang mga equation sa matrix form.

$$\left(\begin{matrix}-5&8\\5&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-18\\58\end{matrix}\right)$$

I-multiply sa kaliwa ang equation sa pamamagitan ng inverse matrix ng \left(\begin{matrix}-5&8\\5&2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}-5&8\\5&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-5&8\\5&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-5&8\\5&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-18\\58\end{matrix}\right)$$

Ang product ng isang matrix at ang inverse nito ay ang identity matrix.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-5&8\\5&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-18\\58\end{matrix}\right)$$

I-multiply ang mga matrix sa kaliwang panig ng equal sign.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-5&8\\5&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-18\\58\end{matrix}\right)$$

Para sa 2\times 2 na matrix \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), ang inverse matrix ay \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), kaya maaaring muling isulat ang equation ng matrix bilang problema sa multiplication ng matrix.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{-5\times 2-8\times 5}&-\frac{8}{-5\times 2-8\times 5}\\-\frac{5}{-5\times 2-8\times 5}&-\frac{5}{-5\times 2-8\times 5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-18\\58\end{matrix}\right)$$

Gumamit ka ng arithmetic.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{25}&\frac{4}{25}\\\frac{1}{10}&\frac{1}{10}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-18\\58\end{matrix}\right)$$

I-multiply ang mga matrix.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{25}\left(-18\right)+\frac{4}{25}\times 58\\\frac{1}{10}\left(-18\right)+\frac{1}{10}\times 58\end{matrix}\right)$$

Gumamit ka ng arithmetic.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}10\\4\end{matrix}\right)$$

I-extract ang mga matrix element na y at x.

$$y=10,x=4$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Elimination

Para mag-solve gamit ang elimination, ang mga coefficient ng isa sa mga variable ay dapat na magkatulad sa dalawang equation nang sa gayon ay magka-cancel out ang variable kapag na-substract ang equation sa kabila.

$$-5y+8x=-18,5y+2x=58$$

Para gawing magkatumbas ang -5y at 5y, i-multiply ang lahat ng term sa magkabilang dulo ng unang equation gamit ang 5 at lahat ng term sa magkabilang dulo ng pangalawa gamit ang -5.

$$5\left(-5\right)y+5\times 8x=5\left(-18\right),-5\times 5y-5\times 2x=-5\times 58$$

Pasimplehin.

$$-25y+40x=-90,-25y-10x=-290$$

I-subtract ang -25y-10x=-290 mula sa -25y+40x=-90 sa pamamagitan ng pagsu-subtract ng mga katulad na term sa bawat dulo ng equal sign.

$$-25y+25y+40x+10x=-90+290$$

Idagdag ang -25y sa 25y. Naka-cancel out ang term na -25y at 25y ang isa\'t isa, at mag-iiwan ito ng equation na may isang variable lang na maaaring lutasin.

$$40x+10x=-90+290$$

Idagdag ang 40x sa 10x.

$$50x=-90+290$$

Idagdag ang -90 sa 290.

$$50x=200$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang 50.

$$x=4$$

I-substitute ang 4 para sa x sa 5y+2x=58. Dahil ang nagreresultang equation ay naglalaman lang ng isang variable, maaari mong i-solve ang y nang direkta.

$$5y+2\times 4=58$$

I-multiply ang 2 times 4.

$$5y+8=58$$

I-subtract ang 8 mula sa magkabilang dulo ng equation.

$$5y=50$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang 5.

$$y=10$$

Nalutas na ang system.

$$y=10,x=4$$