Lutasin ang {l}{-5x+3y=3}{4x+3y=30}

$$\left. \begin{array} { l } { - 5 x + 3 y = 3 } \\ { 4 x + 3 y = 30 } \end{array} \right.$$

I-solve ang x, y

$$x=3$$

$$y=6$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Substitution

Para mag-solve ng pares ng mga equation gamit ang substitution, i-solve muna ang isa sa mga equation para sa isa sa mga variable. Pagkatapos, i-substitute ang result para sa variable na iyon sa ibang equation.

$$-5x+3y=3,4x+3y=30$$

Pumili ng isa sa mga equation at lutasin ito para sa x sa pamamagitan ng pag-isolate sa x sa kaliwang bahagi ng equal sign.

$$-5x+3y=3$$

I-subtract ang 3y mula sa magkabilang dulo ng equation.

$$-5x=-3y+3$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang -5.

$$x=-\frac{1}{5}\left(-3y+3\right)$$

I-multiply ang -\frac{1}{5} times -3y+3.

$$x=\frac{3}{5}y-\frac{3}{5}$$

I-substitute ang \frac{-3+3y}{5} para sa x sa kabilang equation na 4x+3y=30.

$$4\left(\frac{3}{5}y-\frac{3}{5}\right)+3y=30$$

I-multiply ang 4 times \frac{-3+3y}{5}.

$$\frac{12}{5}y-\frac{12}{5}+3y=30$$

Idagdag ang \frac{12y}{5} sa 3y.

$$\frac{27}{5}y-\frac{12}{5}=30$$

Idagdag ang \frac{12}{5} sa magkabilang dulo ng equation.

$$\frac{27}{5}y=\frac{162}{5}$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang \frac{27}{5}, na katumbas ng pagmu-multiply sa magkabilang dulo ng reciprocal ng fraction.

$$y=6$$

I-substitute ang 6 para sa y sa x=\frac{3}{5}y-\frac{3}{5}. Dahil ang nagreresultang equation ay naglalaman lang ng isang variable, maaari mong i-solve ang x nang direkta.

$$x=\frac{3}{5}\times 6-\frac{3}{5}$$

I-multiply ang \frac{3}{5} times 6.

$$x=\frac{18-3}{5}$$

Idagdag ang -\frac{3}{5} sa \frac{18}{5} sa pamamagitan ng paghahanap ng common denominator at pagdadagdag sa mga numerator. Pagkatapos ay ibawas ang fraction sa lowest terms nito kung posible.

$$x=3$$

Nalutas na ang system.

$$x=3,y=6$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Mga Matrix

Ilagay ang mga equation sa standard form at pagkatapos ay gumamit ng mga matrix para i-solve ang system ng mga equation.

$$-5x+3y=3,4x+3y=30$$

Isulat ang mga equation sa matrix form.

$$\left(\begin{matrix}-5&3\\4&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\30\end{matrix}\right)$$

I-multiply sa kaliwa ang equation sa pamamagitan ng inverse matrix ng \left(\begin{matrix}-5&3\\4&3\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}-5&3\\4&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-5&3\\4&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-5&3\\4&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\30\end{matrix}\right)$$

Ang product ng isang matrix at ang inverse nito ay ang identity matrix.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-5&3\\4&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\30\end{matrix}\right)$$

I-multiply ang mga matrix sa kaliwang panig ng equal sign.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-5&3\\4&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\30\end{matrix}\right)$$

Para sa 2\times 2 na matrix \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), ang inverse matrix ay \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), kaya maaaring muling isulat ang equation ng matrix bilang problema sa multiplication ng matrix.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{-5\times 3-3\times 4}&-\frac{3}{-5\times 3-3\times 4}\\-\frac{4}{-5\times 3-3\times 4}&-\frac{5}{-5\times 3-3\times 4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}3\\30\end{matrix}\right)$$

Gumamit ka ng arithmetic.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{9}&\frac{1}{9}\\\frac{4}{27}&\frac{5}{27}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}3\\30\end{matrix}\right)$$

I-multiply ang mga matrix.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{9}\times 3+\frac{1}{9}\times 30\\\frac{4}{27}\times 3+\frac{5}{27}\times 30\end{matrix}\right)$$

Gumamit ka ng arithmetic.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\6\end{matrix}\right)$$

I-extract ang mga matrix element na x at y.

$$x=3,y=6$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Elimination

Para mag-solve gamit ang elimination, ang mga coefficient ng isa sa mga variable ay dapat na magkatulad sa dalawang equation nang sa gayon ay magka-cancel out ang variable kapag na-substract ang equation sa kabila.

$$-5x+3y=3,4x+3y=30$$

I-subtract ang 4x+3y=30 mula sa -5x+3y=3 sa pamamagitan ng pagsu-subtract ng mga katulad na term sa bawat dulo ng equal sign.

$$-5x-4x+3y-3y=3-30$$

Idagdag ang 3y sa -3y. Naka-cancel out ang term na 3y at -3y ang isa\'t isa, at mag-iiwan ito ng equation na may isang variable lang na maaaring lutasin.

$$-5x-4x=3-30$$

Idagdag ang -5x sa -4x.

$$-9x=3-30$$

Idagdag ang 3 sa -30.

$$-9x=-27$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang -9.

$$x=3$$

I-substitute ang 3 para sa x sa 4x+3y=30. Dahil ang nagreresultang equation ay naglalaman lang ng isang variable, maaari mong i-solve ang y nang direkta.

$$4\times 3+3y=30$$

I-multiply ang 4 times 3.

$$12+3y=30$$

I-subtract ang 12 mula sa magkabilang dulo ng equation.

$$3y=18$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang 3.

$$y=6$$

Nalutas na ang system.

$$x=3,y=6$$