Lutasin ang {l}{-5x+3y=11}{x-2y=2}

$$\left. \begin{array} { l } { - 5 x + 3 y = 11 } \\ { x - 2 y = 2 } \end{array} \right.$$

I-solve ang x, y

$$x=-4$$

$$y=-3$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Substitution

Para mag-solve ng pares ng mga equation gamit ang substitution, i-solve muna ang isa sa mga equation para sa isa sa mga variable. Pagkatapos, i-substitute ang result para sa variable na iyon sa ibang equation.

$$-5x+3y=11,x-2y=2$$

Pumili ng isa sa mga equation at lutasin ito para sa x sa pamamagitan ng pag-isolate sa x sa kaliwang bahagi ng equal sign.

$$-5x+3y=11$$

I-subtract ang 3y mula sa magkabilang dulo ng equation.

$$-5x=-3y+11$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang -5.

$$x=-\frac{1}{5}\left(-3y+11\right)$$

I-multiply ang -\frac{1}{5} times -3y+11.

$$x=\frac{3}{5}y-\frac{11}{5}$$

I-substitute ang \frac{3y-11}{5} para sa x sa kabilang equation na x-2y=2.

$$\frac{3}{5}y-\frac{11}{5}-2y=2$$

Idagdag ang \frac{3y}{5} sa -2y.

$$-\frac{7}{5}y-\frac{11}{5}=2$$

Idagdag ang \frac{11}{5} sa magkabilang dulo ng equation.

$$-\frac{7}{5}y=\frac{21}{5}$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang -\frac{7}{5}, na katumbas ng pagmu-multiply sa magkabilang dulo ng reciprocal ng fraction.

$$y=-3$$

I-substitute ang -3 para sa y sa x=\frac{3}{5}y-\frac{11}{5}. Dahil ang nagreresultang equation ay naglalaman lang ng isang variable, maaari mong i-solve ang x nang direkta.

$$x=\frac{3}{5}\left(-3\right)-\frac{11}{5}$$

I-multiply ang \frac{3}{5} times -3.

$$x=\frac{-9-11}{5}$$

Idagdag ang -\frac{11}{5} sa -\frac{9}{5} sa pamamagitan ng paghahanap ng common denominator at pagdadagdag sa mga numerator. Pagkatapos ay ibawas ang fraction sa lowest terms nito kung posible.

$$x=-4$$

Nalutas na ang system.

$$x=-4,y=-3$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Mga Matrix

Ilagay ang mga equation sa standard form at pagkatapos ay gumamit ng mga matrix para i-solve ang system ng mga equation.

$$-5x+3y=11,x-2y=2$$

Isulat ang mga equation sa matrix form.

$$\left(\begin{matrix}-5&3\\1&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}11\\2\end{matrix}\right)$$

I-multiply sa kaliwa ang equation sa pamamagitan ng inverse matrix ng \left(\begin{matrix}-5&3\\1&-2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}-5&3\\1&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-5&3\\1&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-5&3\\1&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}11\\2\end{matrix}\right)$$

Ang product ng isang matrix at ang inverse nito ay ang identity matrix.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-5&3\\1&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}11\\2\end{matrix}\right)$$

I-multiply ang mga matrix sa kaliwang panig ng equal sign.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-5&3\\1&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}11\\2\end{matrix}\right)$$

Para sa 2\times 2 na matrix \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), ang inverse matrix ay \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), kaya maaaring muling isulat ang equation ng matrix bilang problema sa multiplication ng matrix.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{-5\left(-2\right)-3}&-\frac{3}{-5\left(-2\right)-3}\\-\frac{1}{-5\left(-2\right)-3}&-\frac{5}{-5\left(-2\right)-3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}11\\2\end{matrix}\right)$$

Gumamit ka ng arithmetic.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{7}&-\frac{3}{7}\\-\frac{1}{7}&-\frac{5}{7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}11\\2\end{matrix}\right)$$

I-multiply ang mga matrix.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{7}\times 11-\frac{3}{7}\times 2\\-\frac{1}{7}\times 11-\frac{5}{7}\times 2\end{matrix}\right)$$

Gumamit ka ng arithmetic.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-4\\-3\end{matrix}\right)$$

I-extract ang mga matrix element na x at y.

$$x=-4,y=-3$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Elimination

Para mag-solve gamit ang elimination, ang mga coefficient ng isa sa mga variable ay dapat na magkatulad sa dalawang equation nang sa gayon ay magka-cancel out ang variable kapag na-substract ang equation sa kabila.

$$-5x+3y=11,x-2y=2$$

Para gawing magkatumbas ang -5x at x, i-multiply ang lahat ng term sa magkabilang dulo ng unang equation gamit ang 1 at lahat ng term sa magkabilang dulo ng pangalawa gamit ang -5.

$$-5x+3y=11,-5x-5\left(-2\right)y=-5\times 2$$

Pasimplehin.

$$-5x+3y=11,-5x+10y=-10$$

I-subtract ang -5x+10y=-10 mula sa -5x+3y=11 sa pamamagitan ng pagsu-subtract ng mga katulad na term sa bawat dulo ng equal sign.

$$-5x+5x+3y-10y=11+10$$

Idagdag ang -5x sa 5x. Naka-cancel out ang term na -5x at 5x ang isa\'t isa, at mag-iiwan ito ng equation na may isang variable lang na maaaring lutasin.

$$3y-10y=11+10$$

Idagdag ang 3y sa -10y.

$$-7y=11+10$$

Idagdag ang 11 sa 10.

$$-7y=21$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang -7.

$$y=-3$$

I-substitute ang -3 para sa y sa x-2y=2. Dahil ang nagreresultang equation ay naglalaman lang ng isang variable, maaari mong i-solve ang x nang direkta.

$$x-2\left(-3\right)=2$$

I-multiply ang -2 times -3.

$$x+6=2$$

I-subtract ang 6 mula sa magkabilang dulo ng equation.

$$x=-4$$

Nalutas na ang system.

$$x=-4,y=-3$$