Lutasin ang {l}{-4x-10y=20}{8x+10y=20}

$$\left. \begin{array} { l } { - 4 x - 10 y = 20 } \\ { 8 x + 10 y = 20 } \end{array} \right.$$

I-solve ang x, y

$$x=10$$

$$y=-6$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Substitution

Para mag-solve ng pares ng mga equation gamit ang substitution, i-solve muna ang isa sa mga equation para sa isa sa mga variable. Pagkatapos, i-substitute ang result para sa variable na iyon sa ibang equation.

$$-4x-10y=20,8x+10y=20$$

Pumili ng isa sa mga equation at lutasin ito para sa x sa pamamagitan ng pag-isolate sa x sa kaliwang bahagi ng equal sign.

$$-4x-10y=20$$

Idagdag ang 10y sa magkabilang dulo ng equation.

$$-4x=10y+20$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang -4.

$$x=-\frac{1}{4}\left(10y+20\right)$$

I-multiply ang -\frac{1}{4} times 20+10y.

$$x=-\frac{5}{2}y-5$$

I-substitute ang -\frac{5y}{2}-5 para sa x sa kabilang equation na 8x+10y=20.

$$8\left(-\frac{5}{2}y-5\right)+10y=20$$

I-multiply ang 8 times -\frac{5y}{2}-5.

$$-20y-40+10y=20$$

Idagdag ang -20y sa 10y.

$$-10y-40=20$$

Idagdag ang 40 sa magkabilang dulo ng equation.

$$-10y=60$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang -10.

$$y=-6$$

I-substitute ang -6 para sa y sa x=-\frac{5}{2}y-5. Dahil ang nagreresultang equation ay naglalaman lang ng isang variable, maaari mong i-solve ang x nang direkta.

$$x=-\frac{5}{2}\left(-6\right)-5$$

I-multiply ang -\frac{5}{2} times -6.

$$x=15-5$$

Idagdag ang -5 sa 15.

$$x=10$$

Nalutas na ang system.

$$x=10,y=-6$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Mga Matrix

Ilagay ang mga equation sa standard form at pagkatapos ay gumamit ng mga matrix para i-solve ang system ng mga equation.

$$-4x-10y=20,8x+10y=20$$

Isulat ang mga equation sa matrix form.

$$\left(\begin{matrix}-4&-10\\8&10\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}20\\20\end{matrix}\right)$$

I-multiply sa kaliwa ang equation sa pamamagitan ng inverse matrix ng \left(\begin{matrix}-4&-10\\8&10\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}-4&-10\\8&10\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-4&-10\\8&10\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-4&-10\\8&10\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}20\\20\end{matrix}\right)$$

Ang product ng isang matrix at ang inverse nito ay ang identity matrix.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-4&-10\\8&10\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}20\\20\end{matrix}\right)$$

I-multiply ang mga matrix sa kaliwang panig ng equal sign.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-4&-10\\8&10\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}20\\20\end{matrix}\right)$$

Para sa 2\times 2 na matrix \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), ang inverse matrix ay \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), kaya maaaring muling isulat ang equation ng matrix bilang problema sa multiplication ng matrix.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{10}{-4\times 10-\left(-10\times 8\right)}&-\frac{-10}{-4\times 10-\left(-10\times 8\right)}\\-\frac{8}{-4\times 10-\left(-10\times 8\right)}&-\frac{4}{-4\times 10-\left(-10\times 8\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}20\\20\end{matrix}\right)$$

Gumamit ka ng arithmetic.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{4}&\frac{1}{4}\\-\frac{1}{5}&-\frac{1}{10}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}20\\20\end{matrix}\right)$$

I-multiply ang mga matrix.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{4}\times 20+\frac{1}{4}\times 20\\-\frac{1}{5}\times 20-\frac{1}{10}\times 20\end{matrix}\right)$$

Gumamit ka ng arithmetic.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}10\\-6\end{matrix}\right)$$

I-extract ang mga matrix element na x at y.

$$x=10,y=-6$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Elimination

Para mag-solve gamit ang elimination, ang mga coefficient ng isa sa mga variable ay dapat na magkatulad sa dalawang equation nang sa gayon ay magka-cancel out ang variable kapag na-substract ang equation sa kabila.

$$-4x-10y=20,8x+10y=20$$

Para gawing magkatumbas ang -4x at 8x, i-multiply ang lahat ng term sa magkabilang dulo ng unang equation gamit ang 8 at lahat ng term sa magkabilang dulo ng pangalawa gamit ang -4.

$$8\left(-4\right)x+8\left(-10\right)y=8\times 20,-4\times 8x-4\times 10y=-4\times 20$$

Pasimplehin.

$$-32x-80y=160,-32x-40y=-80$$

I-subtract ang -32x-40y=-80 mula sa -32x-80y=160 sa pamamagitan ng pagsu-subtract ng mga katulad na term sa bawat dulo ng equal sign.

$$-32x+32x-80y+40y=160+80$$

Idagdag ang -32x sa 32x. Naka-cancel out ang term na -32x at 32x ang isa\'t isa, at mag-iiwan ito ng equation na may isang variable lang na maaaring lutasin.

$$-80y+40y=160+80$$

Idagdag ang -80y sa 40y.

$$-40y=160+80$$

Idagdag ang 160 sa 80.

$$-40y=240$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang -40.

$$y=-6$$

I-substitute ang -6 para sa y sa 8x+10y=20. Dahil ang nagreresultang equation ay naglalaman lang ng isang variable, maaari mong i-solve ang x nang direkta.

$$8x+10\left(-6\right)=20$$

I-multiply ang 10 times -6.

$$8x-60=20$$

Idagdag ang 60 sa magkabilang dulo ng equation.

$$8x=80$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang 8.

$$x=10$$

Nalutas na ang system.

$$x=10,y=-6$$