Lutasin ang {l}{-4x+y=1}{-8x-y=11}

$$\left. \begin{array} { l } { - 4 x + y = 1 } \\ { - 8 x - y = 11 } \end{array} \right.$$

I-solve ang x, y

$$x=-1$$

$$y=-3$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Substitution

Para mag-solve ng pares ng mga equation gamit ang substitution, i-solve muna ang isa sa mga equation para sa isa sa mga variable. Pagkatapos, i-substitute ang result para sa variable na iyon sa ibang equation.

$$-4x+y=1,-8x-y=11$$

Pumili ng isa sa mga equation at lutasin ito para sa x sa pamamagitan ng pag-isolate sa x sa kaliwang bahagi ng equal sign.

$$-4x+y=1$$

I-subtract ang y mula sa magkabilang dulo ng equation.

$$-4x=-y+1$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang -4.

$$x=-\frac{1}{4}\left(-y+1\right)$$

I-multiply ang -\frac{1}{4} times -y+1.

$$x=\frac{1}{4}y-\frac{1}{4}$$

I-substitute ang \frac{-1+y}{4} para sa x sa kabilang equation na -8x-y=11.

$$-8\left(\frac{1}{4}y-\frac{1}{4}\right)-y=11$$

I-multiply ang -8 times \frac{-1+y}{4}.

$$-2y+2-y=11$$

Idagdag ang -2y sa -y.

$$-3y+2=11$$

I-subtract ang 2 mula sa magkabilang dulo ng equation.

$$-3y=9$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang -3.

$$y=-3$$

I-substitute ang -3 para sa y sa x=\frac{1}{4}y-\frac{1}{4}. Dahil ang nagreresultang equation ay naglalaman lang ng isang variable, maaari mong i-solve ang x nang direkta.

$$x=\frac{1}{4}\left(-3\right)-\frac{1}{4}$$

I-multiply ang \frac{1}{4} times -3.

$$x=\frac{-3-1}{4}$$

Idagdag ang -\frac{1}{4} sa -\frac{3}{4} sa pamamagitan ng paghahanap ng common denominator at pagdadagdag sa mga numerator. Pagkatapos ay ibawas ang fraction sa lowest terms nito kung posible.

$$x=-1$$

Nalutas na ang system.

$$x=-1,y=-3$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Mga Matrix

Ilagay ang mga equation sa standard form at pagkatapos ay gumamit ng mga matrix para i-solve ang system ng mga equation.

$$-4x+y=1,-8x-y=11$$

Isulat ang mga equation sa matrix form.

$$\left(\begin{matrix}-4&1\\-8&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\11\end{matrix}\right)$$

I-multiply sa kaliwa ang equation sa pamamagitan ng inverse matrix ng \left(\begin{matrix}-4&1\\-8&-1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}-4&1\\-8&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-4&1\\-8&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-4&1\\-8&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\11\end{matrix}\right)$$

Ang product ng isang matrix at ang inverse nito ay ang identity matrix.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-4&1\\-8&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\11\end{matrix}\right)$$

I-multiply ang mga matrix sa kaliwang panig ng equal sign.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-4&1\\-8&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\11\end{matrix}\right)$$

Para sa 2\times 2 na matrix \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), ang inverse matrix ay \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), kaya maaaring muling isulat ang equation ng matrix bilang problema sa multiplication ng matrix.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{-4\left(-1\right)-\left(-8\right)}&-\frac{1}{-4\left(-1\right)-\left(-8\right)}\\-\frac{-8}{-4\left(-1\right)-\left(-8\right)}&-\frac{4}{-4\left(-1\right)-\left(-8\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\11\end{matrix}\right)$$

Gumamit ka ng arithmetic.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{12}&-\frac{1}{12}\\\frac{2}{3}&-\frac{1}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\11\end{matrix}\right)$$

I-multiply ang mga matrix.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{12}-\frac{1}{12}\times 11\\\frac{2}{3}-\frac{1}{3}\times 11\end{matrix}\right)$$

Gumamit ka ng arithmetic.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1\\-3\end{matrix}\right)$$

I-extract ang mga matrix element na x at y.

$$x=-1,y=-3$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Elimination

Para mag-solve gamit ang elimination, ang mga coefficient ng isa sa mga variable ay dapat na magkatulad sa dalawang equation nang sa gayon ay magka-cancel out ang variable kapag na-substract ang equation sa kabila.

$$-4x+y=1,-8x-y=11$$

Para gawing magkatumbas ang -4x at -8x, i-multiply ang lahat ng term sa magkabilang dulo ng unang equation gamit ang -8 at lahat ng term sa magkabilang dulo ng pangalawa gamit ang -4.

$$-8\left(-4\right)x-8y=-8,-4\left(-8\right)x-4\left(-1\right)y=-4\times 11$$

Pasimplehin.

$$32x-8y=-8,32x+4y=-44$$

I-subtract ang 32x+4y=-44 mula sa 32x-8y=-8 sa pamamagitan ng pagsu-subtract ng mga katulad na term sa bawat dulo ng equal sign.

$$32x-32x-8y-4y=-8+44$$

Idagdag ang 32x sa -32x. Naka-cancel out ang term na 32x at -32x ang isa\'t isa, at mag-iiwan ito ng equation na may isang variable lang na maaaring lutasin.

$$-8y-4y=-8+44$$

Idagdag ang -8y sa -4y.

$$-12y=-8+44$$

Idagdag ang -8 sa 44.

$$-12y=36$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang -12.

$$y=-3$$

I-substitute ang -3 para sa y sa -8x-y=11. Dahil ang nagreresultang equation ay naglalaman lang ng isang variable, maaari mong i-solve ang x nang direkta.

$$-8x-\left(-3\right)=11$$

I-subtract ang 3 mula sa magkabilang dulo ng equation.

$$-8x=8$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang -8.

$$x=-1$$

Nalutas na ang system.

$$x=-1,y=-3$$