Lutasin ang {l}{-4x+9y=9}{x-3y=-6}

$$\left. \begin{array} { l } { - 4 x + 9 y = 9 } \\ { x - 3 y = - 6 } \end{array} \right.$$

I-solve ang x, y

$$x=9$$

$$y=5$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Substitution

Para mag-solve ng pares ng mga equation gamit ang substitution, i-solve muna ang isa sa mga equation para sa isa sa mga variable. Pagkatapos, i-substitute ang result para sa variable na iyon sa ibang equation.

$$-4x+9y=9,x-3y=-6$$

Pumili ng isa sa mga equation at lutasin ito para sa x sa pamamagitan ng pag-isolate sa x sa kaliwang bahagi ng equal sign.

$$-4x+9y=9$$

I-subtract ang 9y mula sa magkabilang dulo ng equation.

$$-4x=-9y+9$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang -4.

$$x=-\frac{1}{4}\left(-9y+9\right)$$

I-multiply ang -\frac{1}{4} times -9y+9.

$$x=\frac{9}{4}y-\frac{9}{4}$$

I-substitute ang \frac{-9+9y}{4} para sa x sa kabilang equation na x-3y=-6.

$$\frac{9}{4}y-\frac{9}{4}-3y=-6$$

Idagdag ang \frac{9y}{4} sa -3y.

$$-\frac{3}{4}y-\frac{9}{4}=-6$$

Idagdag ang \frac{9}{4} sa magkabilang dulo ng equation.

$$-\frac{3}{4}y=-\frac{15}{4}$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang -\frac{3}{4}, na katumbas ng pagmu-multiply sa magkabilang dulo ng reciprocal ng fraction.

$$y=5$$

I-substitute ang 5 para sa y sa x=\frac{9}{4}y-\frac{9}{4}. Dahil ang nagreresultang equation ay naglalaman lang ng isang variable, maaari mong i-solve ang x nang direkta.

$$x=\frac{9}{4}\times 5-\frac{9}{4}$$

I-multiply ang \frac{9}{4} times 5.

$$x=\frac{45-9}{4}$$

Idagdag ang -\frac{9}{4} sa \frac{45}{4} sa pamamagitan ng paghahanap ng common denominator at pagdadagdag sa mga numerator. Pagkatapos ay ibawas ang fraction sa lowest terms nito kung posible.

$$x=9$$

Nalutas na ang system.

$$x=9,y=5$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Mga Matrix

Ilagay ang mga equation sa standard form at pagkatapos ay gumamit ng mga matrix para i-solve ang system ng mga equation.

$$-4x+9y=9,x-3y=-6$$

Isulat ang mga equation sa matrix form.

$$\left(\begin{matrix}-4&9\\1&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}9\\-6\end{matrix}\right)$$

I-multiply sa kaliwa ang equation sa pamamagitan ng inverse matrix ng \left(\begin{matrix}-4&9\\1&-3\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}-4&9\\1&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-4&9\\1&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-4&9\\1&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9\\-6\end{matrix}\right)$$

Ang product ng isang matrix at ang inverse nito ay ang identity matrix.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-4&9\\1&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9\\-6\end{matrix}\right)$$

I-multiply ang mga matrix sa kaliwang panig ng equal sign.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-4&9\\1&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9\\-6\end{matrix}\right)$$

Para sa 2\times 2 na matrix \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), ang inverse matrix ay \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), kaya maaaring muling isulat ang equation ng matrix bilang problema sa multiplication ng matrix.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{-4\left(-3\right)-9}&-\frac{9}{-4\left(-3\right)-9}\\-\frac{1}{-4\left(-3\right)-9}&-\frac{4}{-4\left(-3\right)-9}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}9\\-6\end{matrix}\right)$$

Gumamit ka ng arithmetic.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1&-3\\-\frac{1}{3}&-\frac{4}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}9\\-6\end{matrix}\right)$$

I-multiply ang mga matrix.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-9-3\left(-6\right)\\-\frac{1}{3}\times 9-\frac{4}{3}\left(-6\right)\end{matrix}\right)$$

Gumamit ka ng arithmetic.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}9\\5\end{matrix}\right)$$

I-extract ang mga matrix element na x at y.

$$x=9,y=5$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Elimination

Para mag-solve gamit ang elimination, ang mga coefficient ng isa sa mga variable ay dapat na magkatulad sa dalawang equation nang sa gayon ay magka-cancel out ang variable kapag na-substract ang equation sa kabila.

$$-4x+9y=9,x-3y=-6$$

Para gawing magkatumbas ang -4x at x, i-multiply ang lahat ng term sa magkabilang dulo ng unang equation gamit ang 1 at lahat ng term sa magkabilang dulo ng pangalawa gamit ang -4.

$$-4x+9y=9,-4x-4\left(-3\right)y=-4\left(-6\right)$$

Pasimplehin.

$$-4x+9y=9,-4x+12y=24$$

I-subtract ang -4x+12y=24 mula sa -4x+9y=9 sa pamamagitan ng pagsu-subtract ng mga katulad na term sa bawat dulo ng equal sign.

$$-4x+4x+9y-12y=9-24$$

Idagdag ang -4x sa 4x. Naka-cancel out ang term na -4x at 4x ang isa\'t isa, at mag-iiwan ito ng equation na may isang variable lang na maaaring lutasin.

$$9y-12y=9-24$$

Idagdag ang 9y sa -12y.

$$-3y=9-24$$

Idagdag ang 9 sa -24.

$$-3y=-15$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang -3.

$$y=5$$

I-substitute ang 5 para sa y sa x-3y=-6. Dahil ang nagreresultang equation ay naglalaman lang ng isang variable, maaari mong i-solve ang x nang direkta.

$$x-3\times 5=-6$$

I-multiply ang -3 times 5.

$$x-15=-6$$

Idagdag ang 15 sa magkabilang dulo ng equation.

$$x=9$$

Nalutas na ang system.

$$x=9,y=5$$