Lutasin ang {l}{-3x+3y=-9}{6x-y=-12}

$$\left. \begin{array} { l } { - 3 x + 3 y = - 9 } \\ { 6 x - y = - 12 } \end{array} \right.$$

I-solve ang x, y

$$x=-3$$

$$y=-6$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Substitution

Para mag-solve ng pares ng mga equation gamit ang substitution, i-solve muna ang isa sa mga equation para sa isa sa mga variable. Pagkatapos, i-substitute ang result para sa variable na iyon sa ibang equation.

$$-3x+3y=-9,6x-y=-12$$

Pumili ng isa sa mga equation at lutasin ito para sa x sa pamamagitan ng pag-isolate sa x sa kaliwang bahagi ng equal sign.

$$-3x+3y=-9$$

I-subtract ang 3y mula sa magkabilang dulo ng equation.

$$-3x=-3y-9$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang -3.

$$x=-\frac{1}{3}\left(-3y-9\right)$$

I-multiply ang -\frac{1}{3} times -3y-9.

$$x=y+3$$

I-substitute ang y+3 para sa x sa kabilang equation na 6x-y=-12.

$$6\left(y+3\right)-y=-12$$

I-multiply ang 6 times y+3.

$$6y+18-y=-12$$

Idagdag ang 6y sa -y.

$$5y+18=-12$$

I-subtract ang 18 mula sa magkabilang dulo ng equation.

$$5y=-30$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang 5.

$$y=-6$$

I-substitute ang -6 para sa y sa x=y+3. Dahil ang nagreresultang equation ay naglalaman lang ng isang variable, maaari mong i-solve ang x nang direkta.

$$x=-6+3$$

Idagdag ang 3 sa -6.

$$x=-3$$

Nalutas na ang system.

$$x=-3,y=-6$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Mga Matrix

Ilagay ang mga equation sa standard form at pagkatapos ay gumamit ng mga matrix para i-solve ang system ng mga equation.

$$-3x+3y=-9,6x-y=-12$$

Isulat ang mga equation sa matrix form.

$$\left(\begin{matrix}-3&3\\6&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-9\\-12\end{matrix}\right)$$

I-multiply sa kaliwa ang equation sa pamamagitan ng inverse matrix ng \left(\begin{matrix}-3&3\\6&-1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}-3&3\\6&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-3&3\\6&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-3&3\\6&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-9\\-12\end{matrix}\right)$$

Ang product ng isang matrix at ang inverse nito ay ang identity matrix.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-3&3\\6&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-9\\-12\end{matrix}\right)$$

I-multiply ang mga matrix sa kaliwang panig ng equal sign.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-3&3\\6&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-9\\-12\end{matrix}\right)$$

Para sa 2\times 2 na matrix \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), ang inverse matrix ay \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), kaya maaaring muling isulat ang equation ng matrix bilang problema sa multiplication ng matrix.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{-3\left(-1\right)-3\times 6}&-\frac{3}{-3\left(-1\right)-3\times 6}\\-\frac{6}{-3\left(-1\right)-3\times 6}&-\frac{3}{-3\left(-1\right)-3\times 6}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-9\\-12\end{matrix}\right)$$

Gumamit ka ng arithmetic.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{15}&\frac{1}{5}\\\frac{2}{5}&\frac{1}{5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-9\\-12\end{matrix}\right)$$

I-multiply ang mga matrix.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{15}\left(-9\right)+\frac{1}{5}\left(-12\right)\\\frac{2}{5}\left(-9\right)+\frac{1}{5}\left(-12\right)\end{matrix}\right)$$

Gumamit ka ng arithmetic.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-3\\-6\end{matrix}\right)$$

I-extract ang mga matrix element na x at y.

$$x=-3,y=-6$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Elimination

Para mag-solve gamit ang elimination, ang mga coefficient ng isa sa mga variable ay dapat na magkatulad sa dalawang equation nang sa gayon ay magka-cancel out ang variable kapag na-substract ang equation sa kabila.

$$-3x+3y=-9,6x-y=-12$$

Para gawing magkatumbas ang -3x at 6x, i-multiply ang lahat ng term sa magkabilang dulo ng unang equation gamit ang 6 at lahat ng term sa magkabilang dulo ng pangalawa gamit ang -3.

$$6\left(-3\right)x+6\times 3y=6\left(-9\right),-3\times 6x-3\left(-1\right)y=-3\left(-12\right)$$

Pasimplehin.

$$-18x+18y=-54,-18x+3y=36$$

I-subtract ang -18x+3y=36 mula sa -18x+18y=-54 sa pamamagitan ng pagsu-subtract ng mga katulad na term sa bawat dulo ng equal sign.

$$-18x+18x+18y-3y=-54-36$$

Idagdag ang -18x sa 18x. Naka-cancel out ang term na -18x at 18x ang isa\'t isa, at mag-iiwan ito ng equation na may isang variable lang na maaaring lutasin.

$$18y-3y=-54-36$$

Idagdag ang 18y sa -3y.

$$15y=-54-36$$

Idagdag ang -54 sa -36.

$$15y=-90$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang 15.

$$y=-6$$

I-substitute ang -6 para sa y sa 6x-y=-12. Dahil ang nagreresultang equation ay naglalaman lang ng isang variable, maaari mong i-solve ang x nang direkta.

$$6x-\left(-6\right)=-12$$

I-subtract ang 6 mula sa magkabilang dulo ng equation.

$$6x=-18$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang 6.

$$x=-3$$

Nalutas na ang system.

$$x=-3,y=-6$$