Lutasin ang {l}{-3x+3y=-3}{x-9y=-15}

$$\left. \begin{array} { l } { - 3 x + 3 y = - 3 } \\ { x - 9 y = - 15 } \end{array} \right.$$

I-solve ang x, y

$$x=3$$

$$y=2$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Substitution

Para mag-solve ng pares ng mga equation gamit ang substitution, i-solve muna ang isa sa mga equation para sa isa sa mga variable. Pagkatapos, i-substitute ang result para sa variable na iyon sa ibang equation.

$$-3x+3y=-3,x-9y=-15$$

Pumili ng isa sa mga equation at lutasin ito para sa x sa pamamagitan ng pag-isolate sa x sa kaliwang bahagi ng equal sign.

$$-3x+3y=-3$$

I-subtract ang 3y mula sa magkabilang dulo ng equation.

$$-3x=-3y-3$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang -3.

$$x=-\frac{1}{3}\left(-3y-3\right)$$

I-multiply ang -\frac{1}{3} times -3y-3.

$$x=y+1$$

I-substitute ang y+1 para sa x sa kabilang equation na x-9y=-15.

$$y+1-9y=-15$$

Idagdag ang y sa -9y.

$$-8y+1=-15$$

I-subtract ang 1 mula sa magkabilang dulo ng equation.

$$-8y=-16$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang -8.

$$y=2$$

I-substitute ang 2 para sa y sa x=y+1. Dahil ang nagreresultang equation ay naglalaman lang ng isang variable, maaari mong i-solve ang x nang direkta.

$$x=2+1$$

Idagdag ang 1 sa 2.

$$x=3$$

Nalutas na ang system.

$$x=3,y=2$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Mga Matrix

Ilagay ang mga equation sa standard form at pagkatapos ay gumamit ng mga matrix para i-solve ang system ng mga equation.

$$-3x+3y=-3,x-9y=-15$$

Isulat ang mga equation sa matrix form.

$$\left(\begin{matrix}-3&3\\1&-9\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-3\\-15\end{matrix}\right)$$

I-multiply sa kaliwa ang equation sa pamamagitan ng inverse matrix ng \left(\begin{matrix}-3&3\\1&-9\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}-3&3\\1&-9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-3&3\\1&-9\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-3&3\\1&-9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-3\\-15\end{matrix}\right)$$

Ang product ng isang matrix at ang inverse nito ay ang identity matrix.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-3&3\\1&-9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-3\\-15\end{matrix}\right)$$

I-multiply ang mga matrix sa kaliwang panig ng equal sign.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-3&3\\1&-9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-3\\-15\end{matrix}\right)$$

Para sa 2\times 2 na matrix \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), ang inverse matrix ay \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), kaya maaaring muling isulat ang equation ng matrix bilang problema sa multiplication ng matrix.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{9}{-3\left(-9\right)-3}&-\frac{3}{-3\left(-9\right)-3}\\-\frac{1}{-3\left(-9\right)-3}&-\frac{3}{-3\left(-9\right)-3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-3\\-15\end{matrix}\right)$$

Gumamit ka ng arithmetic.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{8}&-\frac{1}{8}\\-\frac{1}{24}&-\frac{1}{8}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-3\\-15\end{matrix}\right)$$

I-multiply ang mga matrix.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{8}\left(-3\right)-\frac{1}{8}\left(-15\right)\\-\frac{1}{24}\left(-3\right)-\frac{1}{8}\left(-15\right)\end{matrix}\right)$$

Gumamit ka ng arithmetic.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\2\end{matrix}\right)$$

I-extract ang mga matrix element na x at y.

$$x=3,y=2$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Elimination

Para mag-solve gamit ang elimination, ang mga coefficient ng isa sa mga variable ay dapat na magkatulad sa dalawang equation nang sa gayon ay magka-cancel out ang variable kapag na-substract ang equation sa kabila.

$$-3x+3y=-3,x-9y=-15$$

Para gawing magkatumbas ang -3x at x, i-multiply ang lahat ng term sa magkabilang dulo ng unang equation gamit ang 1 at lahat ng term sa magkabilang dulo ng pangalawa gamit ang -3.

$$-3x+3y=-3,-3x-3\left(-9\right)y=-3\left(-15\right)$$

Pasimplehin.

$$-3x+3y=-3,-3x+27y=45$$

I-subtract ang -3x+27y=45 mula sa -3x+3y=-3 sa pamamagitan ng pagsu-subtract ng mga katulad na term sa bawat dulo ng equal sign.

$$-3x+3x+3y-27y=-3-45$$

Idagdag ang -3x sa 3x. Naka-cancel out ang term na -3x at 3x ang isa\'t isa, at mag-iiwan ito ng equation na may isang variable lang na maaaring lutasin.

$$3y-27y=-3-45$$

Idagdag ang 3y sa -27y.

$$-24y=-3-45$$

Idagdag ang -3 sa -45.

$$-24y=-48$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang -24.

$$y=2$$

I-substitute ang 2 para sa y sa x-9y=-15. Dahil ang nagreresultang equation ay naglalaman lang ng isang variable, maaari mong i-solve ang x nang direkta.

$$x-9\times 2=-15$$

I-multiply ang -9 times 2.

$$x-18=-15$$

Idagdag ang 18 sa magkabilang dulo ng equation.

$$x=3$$

Nalutas na ang system.

$$x=3,y=2$$