Lutasin ang {l}{-3x+15y=59}{3x+4y=17}

$$\left. \begin{array} { l } { - 3 x + 15 y = 59 } \\ { 3 x + 4 y = 17 } \end{array} \right.$$

I-solve ang x, y

$$x=\frac{1}{3}\approx 0.333333333$$

$$y=4$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Substitution

Para mag-solve ng pares ng mga equation gamit ang substitution, i-solve muna ang isa sa mga equation para sa isa sa mga variable. Pagkatapos, i-substitute ang result para sa variable na iyon sa ibang equation.

$$-3x+15y=59,3x+4y=17$$

Pumili ng isa sa mga equation at lutasin ito para sa x sa pamamagitan ng pag-isolate sa x sa kaliwang bahagi ng equal sign.

$$-3x+15y=59$$

I-subtract ang 15y mula sa magkabilang dulo ng equation.

$$-3x=-15y+59$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang -3.

$$x=-\frac{1}{3}\left(-15y+59\right)$$

I-multiply ang -\frac{1}{3} times -15y+59.

$$x=5y-\frac{59}{3}$$

I-substitute ang 5y-\frac{59}{3} para sa x sa kabilang equation na 3x+4y=17.

$$3\left(5y-\frac{59}{3}\right)+4y=17$$

I-multiply ang 3 times 5y-\frac{59}{3}.

$$15y-59+4y=17$$

Idagdag ang 15y sa 4y.

$$19y-59=17$$

Idagdag ang 59 sa magkabilang dulo ng equation.

$$19y=76$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang 19.

$$y=4$$

I-substitute ang 4 para sa y sa x=5y-\frac{59}{3}. Dahil ang nagreresultang equation ay naglalaman lang ng isang variable, maaari mong i-solve ang x nang direkta.

$$x=5\times 4-\frac{59}{3}$$

I-multiply ang 5 times 4.

$$x=20-\frac{59}{3}$$

Idagdag ang -\frac{59}{3} sa 20.

$$x=\frac{1}{3}$$

Nalutas na ang system.

$$x=\frac{1}{3},y=4$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Mga Matrix

Ilagay ang mga equation sa standard form at pagkatapos ay gumamit ng mga matrix para i-solve ang system ng mga equation.

$$-3x+15y=59,3x+4y=17$$

Isulat ang mga equation sa matrix form.

$$\left(\begin{matrix}-3&15\\3&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}59\\17\end{matrix}\right)$$

I-multiply sa kaliwa ang equation sa pamamagitan ng inverse matrix ng \left(\begin{matrix}-3&15\\3&4\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}-3&15\\3&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-3&15\\3&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-3&15\\3&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}59\\17\end{matrix}\right)$$

Ang product ng isang matrix at ang inverse nito ay ang identity matrix.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-3&15\\3&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}59\\17\end{matrix}\right)$$

I-multiply ang mga matrix sa kaliwang panig ng equal sign.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-3&15\\3&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}59\\17\end{matrix}\right)$$

Para sa 2\times 2 na matrix \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), ang inverse matrix ay \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), kaya maaaring muling isulat ang equation ng matrix bilang problema sa multiplication ng matrix.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{-3\times 4-15\times 3}&-\frac{15}{-3\times 4-15\times 3}\\-\frac{3}{-3\times 4-15\times 3}&-\frac{3}{-3\times 4-15\times 3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}59\\17\end{matrix}\right)$$

Gumamit ka ng arithmetic.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{4}{57}&\frac{5}{19}\\\frac{1}{19}&\frac{1}{19}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}59\\17\end{matrix}\right)$$

I-multiply ang mga matrix.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{4}{57}\times 59+\frac{5}{19}\times 17\\\frac{1}{19}\times 59+\frac{1}{19}\times 17\end{matrix}\right)$$

Gumamit ka ng arithmetic.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3}\\4\end{matrix}\right)$$

I-extract ang mga matrix element na x at y.

$$x=\frac{1}{3},y=4$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Elimination

Para mag-solve gamit ang elimination, ang mga coefficient ng isa sa mga variable ay dapat na magkatulad sa dalawang equation nang sa gayon ay magka-cancel out ang variable kapag na-substract ang equation sa kabila.

$$-3x+15y=59,3x+4y=17$$

Para gawing magkatumbas ang -3x at 3x, i-multiply ang lahat ng term sa magkabilang dulo ng unang equation gamit ang 3 at lahat ng term sa magkabilang dulo ng pangalawa gamit ang -3.

$$3\left(-3\right)x+3\times 15y=3\times 59,-3\times 3x-3\times 4y=-3\times 17$$

Pasimplehin.

$$-9x+45y=177,-9x-12y=-51$$

I-subtract ang -9x-12y=-51 mula sa -9x+45y=177 sa pamamagitan ng pagsu-subtract ng mga katulad na term sa bawat dulo ng equal sign.

$$-9x+9x+45y+12y=177+51$$

Idagdag ang -9x sa 9x. Naka-cancel out ang term na -9x at 9x ang isa\'t isa, at mag-iiwan ito ng equation na may isang variable lang na maaaring lutasin.

$$45y+12y=177+51$$

Idagdag ang 45y sa 12y.

$$57y=177+51$$

Idagdag ang 177 sa 51.

$$57y=228$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang 57.

$$y=4$$

I-substitute ang 4 para sa y sa 3x+4y=17. Dahil ang nagreresultang equation ay naglalaman lang ng isang variable, maaari mong i-solve ang x nang direkta.

$$3x+4\times 4=17$$

I-multiply ang 4 times 4.

$$3x+16=17$$

I-subtract ang 16 mula sa magkabilang dulo ng equation.

$$3x=1$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang 3.

$$x=\frac{1}{3}$$

Nalutas na ang system.

$$x=\frac{1}{3},y=4$$