Lutasin ang {l}{-2x-2y=4}{y=-x/5+2}

$$\left. \begin{array} { l } { - 2 x - 2 y = 4 } \\ { y = - \frac { x } { 5 } + 2 } \end{array} \right.$$

I-solve ang x, y

$$x=-5$$

$$y=3$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Substitution

Isaalang-alang ang pangalawang equation. Idagdag ang \frac{x}{5} sa parehong bahagi.

$$y+\frac{x}{5}=2$$

I-multiply ang magkabilang dulo ng equation gamit ang 5.

$$5y+x=10$$

Para mag-solve ng pares ng mga equation gamit ang substitution, i-solve muna ang isa sa mga equation para sa isa sa mga variable. Pagkatapos, i-substitute ang result para sa variable na iyon sa ibang equation.

$$-2x-2y=4,x+5y=10$$

Pumili ng isa sa mga equation at lutasin ito para sa x sa pamamagitan ng pag-isolate sa x sa kaliwang bahagi ng equal sign.

$$-2x-2y=4$$

Idagdag ang 2y sa magkabilang dulo ng equation.

$$-2x=2y+4$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang -2.

$$x=-\frac{1}{2}\left(2y+4\right)$$

I-multiply ang -\frac{1}{2} times 4+2y.

$$x=-y-2$$

I-substitute ang -y-2 para sa x sa kabilang equation na x+5y=10.

$$-y-2+5y=10$$

Idagdag ang -y sa 5y.

$$4y-2=10$$

Idagdag ang 2 sa magkabilang dulo ng equation.

$$4y=12$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang 4.

$$y=3$$

I-substitute ang 3 para sa y sa x=-y-2. Dahil ang nagreresultang equation ay naglalaman lang ng isang variable, maaari mong i-solve ang x nang direkta.

$$x=-3-2$$

Idagdag ang -2 sa -3.

$$x=-5$$

Nalutas na ang system.

$$x=-5,y=3$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Mga Matrix

Isaalang-alang ang pangalawang equation. Idagdag ang \frac{x}{5} sa parehong bahagi.

$$y+\frac{x}{5}=2$$

I-multiply ang magkabilang dulo ng equation gamit ang 5.

$$5y+x=10$$

Ilagay ang mga equation sa standard form at pagkatapos ay gumamit ng mga matrix para i-solve ang system ng mga equation.

$$-2x-2y=4,x+5y=10$$

Isulat ang mga equation sa matrix form.

$$\left(\begin{matrix}-2&-2\\1&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\10\end{matrix}\right)$$

I-multiply sa kaliwa ang equation sa pamamagitan ng inverse matrix ng \left(\begin{matrix}-2&-2\\1&5\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}-2&-2\\1&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-2&-2\\1&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-2&-2\\1&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\10\end{matrix}\right)$$

Ang product ng isang matrix at ang inverse nito ay ang identity matrix.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-2&-2\\1&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\10\end{matrix}\right)$$

I-multiply ang mga matrix sa kaliwang panig ng equal sign.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-2&-2\\1&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\10\end{matrix}\right)$$

Para sa 2\times 2 na matrix \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), ang inverse matrix ay \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), kaya maaaring muling isulat ang equation ng matrix bilang problema sa multiplication ng matrix.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{-2\times 5-\left(-2\right)}&-\frac{-2}{-2\times 5-\left(-2\right)}\\-\frac{1}{-2\times 5-\left(-2\right)}&-\frac{2}{-2\times 5-\left(-2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\10\end{matrix}\right)$$

Gumamit ka ng arithmetic.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{5}{8}&-\frac{1}{4}\\\frac{1}{8}&\frac{1}{4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\10\end{matrix}\right)$$

I-multiply ang mga matrix.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{5}{8}\times 4-\frac{1}{4}\times 10\\\frac{1}{8}\times 4+\frac{1}{4}\times 10\end{matrix}\right)$$

Gumamit ka ng arithmetic.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-5\\3\end{matrix}\right)$$

I-extract ang mga matrix element na x at y.

$$x=-5,y=3$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Elimination

Isaalang-alang ang pangalawang equation. Idagdag ang \frac{x}{5} sa parehong bahagi.

$$y+\frac{x}{5}=2$$

I-multiply ang magkabilang dulo ng equation gamit ang 5.

$$5y+x=10$$

Para mag-solve gamit ang elimination, ang mga coefficient ng isa sa mga variable ay dapat na magkatulad sa dalawang equation nang sa gayon ay magka-cancel out ang variable kapag na-substract ang equation sa kabila.

$$-2x-2y=4,x+5y=10$$

Para gawing magkatumbas ang -2x at x, i-multiply ang lahat ng term sa magkabilang dulo ng unang equation gamit ang 1 at lahat ng term sa magkabilang dulo ng pangalawa gamit ang -2.

$$-2x-2y=4,-2x-2\times 5y=-2\times 10$$

Pasimplehin.

$$-2x-2y=4,-2x-10y=-20$$

I-subtract ang -2x-10y=-20 mula sa -2x-2y=4 sa pamamagitan ng pagsu-subtract ng mga katulad na term sa bawat dulo ng equal sign.

$$-2x+2x-2y+10y=4+20$$

Idagdag ang -2x sa 2x. Naka-cancel out ang term na -2x at 2x ang isa\'t isa, at mag-iiwan ito ng equation na may isang variable lang na maaaring lutasin.

$$-2y+10y=4+20$$

Idagdag ang -2y sa 10y.

$$8y=4+20$$

Idagdag ang 4 sa 20.

$$8y=24$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang 8.

$$y=3$$

I-substitute ang 3 para sa y sa x+5y=10. Dahil ang nagreresultang equation ay naglalaman lang ng isang variable, maaari mong i-solve ang x nang direkta.

$$x+5\times 3=10$$

I-multiply ang 5 times 3.

$$x+15=10$$

I-subtract ang 15 mula sa magkabilang dulo ng equation.

$$x=-5$$

Nalutas na ang system.

$$x=-5,y=3$$