Lutasin ang {l}{-2x+y=71+2x}{9x+1y=-14}

$$\left. \begin{array} { l } { - 2 x + y = 71 + 2 x } \\ { 9 x + 1 y = - 14 } \end{array} \right.$$

I-solve ang x, y

$$x = -\frac{85}{13} = -6\frac{7}{13} \approx -6.538461538$$

$$y = \frac{583}{13} = 44\frac{11}{13} \approx 44.846153846$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Substitution

Isaalang-alang ang unang equation. I-subtract ang 2x mula sa magkabilang dulo.

$$-2x+y-2x=71$$

Pagsamahin ang -2x at -2x para makuha ang -4x.

$$-4x+y=71$$

Isaalang-alang ang pangalawang equation. Pagsunud-sunurin ang mga term.

$$9x+y=-14$$

Para mag-solve ng pares ng mga equation gamit ang substitution, i-solve muna ang isa sa mga equation para sa isa sa mga variable. Pagkatapos, i-substitute ang result para sa variable na iyon sa ibang equation.

$$-4x+y=71,9x+y=-14$$

Pumili ng isa sa mga equation at lutasin ito para sa x sa pamamagitan ng pag-isolate sa x sa kaliwang bahagi ng equal sign.

$$-4x+y=71$$

I-subtract ang y mula sa magkabilang dulo ng equation.

$$-4x=-y+71$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang -4.

$$x=-\frac{1}{4}\left(-y+71\right)$$

I-multiply ang -\frac{1}{4} times -y+71.

$$x=\frac{1}{4}y-\frac{71}{4}$$

I-substitute ang \frac{-71+y}{4} para sa x sa kabilang equation na 9x+y=-14.

$$9\left(\frac{1}{4}y-\frac{71}{4}\right)+y=-14$$

I-multiply ang 9 times \frac{-71+y}{4}.

$$\frac{9}{4}y-\frac{639}{4}+y=-14$$

Idagdag ang \frac{9y}{4} sa y.

$$\frac{13}{4}y-\frac{639}{4}=-14$$

Idagdag ang \frac{639}{4} sa magkabilang dulo ng equation.

$$\frac{13}{4}y=\frac{583}{4}$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang \frac{13}{4}, na katumbas ng pagmu-multiply sa magkabilang dulo ng reciprocal ng fraction.

$$y=\frac{583}{13}$$

I-substitute ang \frac{583}{13} para sa y sa x=\frac{1}{4}y-\frac{71}{4}. Dahil ang nagreresultang equation ay naglalaman lang ng isang variable, maaari mong i-solve ang x nang direkta.

$$x=\frac{1}{4}\times \frac{583}{13}-\frac{71}{4}$$

I-multiply ang \frac{1}{4} times \frac{583}{13} sa pamamagitan ng pagmu-multiply sa numerator times numerator at denominator times denominator. Pagkatapos, i-reduce ang fraction sa lowest terms nito kung posible.

$$x=\frac{583}{52}-\frac{71}{4}$$

Idagdag ang -\frac{71}{4} sa \frac{583}{52} sa pamamagitan ng paghahanap ng common denominator at pagdadagdag sa mga numerator. Pagkatapos ay ibawas ang fraction sa lowest terms nito kung posible.

$$x=-\frac{85}{13}$$

Nalutas na ang system.

$$x=-\frac{85}{13},y=\frac{583}{13}$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Mga Matrix

Isaalang-alang ang unang equation. I-subtract ang 2x mula sa magkabilang dulo.

$$-2x+y-2x=71$$

Pagsamahin ang -2x at -2x para makuha ang -4x.

$$-4x+y=71$$

Isaalang-alang ang pangalawang equation. Pagsunud-sunurin ang mga term.

$$9x+y=-14$$

Ilagay ang mga equation sa standard form at pagkatapos ay gumamit ng mga matrix para i-solve ang system ng mga equation.

$$-4x+y=71,9x+y=-14$$

Isulat ang mga equation sa matrix form.

$$\left(\begin{matrix}-4&1\\9&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}71\\-14\end{matrix}\right)$$

I-multiply sa kaliwa ang equation sa pamamagitan ng inverse matrix ng \left(\begin{matrix}-4&1\\9&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}-4&1\\9&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-4&1\\9&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-4&1\\9&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}71\\-14\end{matrix}\right)$$

Ang product ng isang matrix at ang inverse nito ay ang identity matrix.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-4&1\\9&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}71\\-14\end{matrix}\right)$$

I-multiply ang mga matrix sa kaliwang panig ng equal sign.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-4&1\\9&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}71\\-14\end{matrix}\right)$$

Para sa 2\times 2 na matrix \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), ang inverse matrix ay \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), kaya maaaring muling isulat ang equation ng matrix bilang problema sa multiplication ng matrix.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{-4-9}&-\frac{1}{-4-9}\\-\frac{9}{-4-9}&-\frac{4}{-4-9}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}71\\-14\end{matrix}\right)$$

Gumamit ka ng arithmetic.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{13}&\frac{1}{13}\\\frac{9}{13}&\frac{4}{13}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}71\\-14\end{matrix}\right)$$

I-multiply ang mga matrix.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{13}\times 71+\frac{1}{13}\left(-14\right)\\\frac{9}{13}\times 71+\frac{4}{13}\left(-14\right)\end{matrix}\right)$$

Gumamit ka ng arithmetic.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{85}{13}\\\frac{583}{13}\end{matrix}\right)$$

I-extract ang mga matrix element na x at y.

$$x=-\frac{85}{13},y=\frac{583}{13}$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Elimination

Isaalang-alang ang unang equation. I-subtract ang 2x mula sa magkabilang dulo.

$$-2x+y-2x=71$$

Pagsamahin ang -2x at -2x para makuha ang -4x.

$$-4x+y=71$$

Isaalang-alang ang pangalawang equation. Pagsunud-sunurin ang mga term.

$$9x+y=-14$$

Para mag-solve gamit ang elimination, ang mga coefficient ng isa sa mga variable ay dapat na magkatulad sa dalawang equation nang sa gayon ay magka-cancel out ang variable kapag na-substract ang equation sa kabila.

$$-4x+y=71,9x+y=-14$$

I-subtract ang 9x+y=-14 mula sa -4x+y=71 sa pamamagitan ng pagsu-subtract ng mga katulad na term sa bawat dulo ng equal sign.

$$-4x-9x+y-y=71+14$$

Idagdag ang y sa -y. Naka-cancel out ang term na y at -y ang isa\'t isa, at mag-iiwan ito ng equation na may isang variable lang na maaaring lutasin.

$$-4x-9x=71+14$$

Idagdag ang -4x sa -9x.

$$-13x=71+14$$

Idagdag ang 71 sa 14.

$$-13x=85$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang -13.

$$x=-\frac{85}{13}$$

I-substitute ang -\frac{85}{13} para sa x sa 9x+y=-14. Dahil ang nagreresultang equation ay naglalaman lang ng isang variable, maaari mong i-solve ang y nang direkta.

$$9\left(-\frac{85}{13}\right)+y=-14$$

I-multiply ang 9 times -\frac{85}{13}.

$$-\frac{765}{13}+y=-14$$

Idagdag ang \frac{765}{13} sa magkabilang dulo ng equation.

$$y=\frac{583}{13}$$

Nalutas na ang system.

$$x=-\frac{85}{13},y=\frac{583}{13}$$