Lutasin ang {l}{-2x+3y=13}{6x-5y=-3}

$$\left. \begin{array} { l } { - 2 x + 3 y = 13 } \\ { 6 x - 5 y = - 3 } \end{array} \right.$$

I-solve ang x, y

$$x=7$$

$$y=9$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Substitution

Para mag-solve ng pares ng mga equation gamit ang substitution, i-solve muna ang isa sa mga equation para sa isa sa mga variable. Pagkatapos, i-substitute ang result para sa variable na iyon sa ibang equation.

$$-2x+3y=13,6x-5y=-3$$

Pumili ng isa sa mga equation at lutasin ito para sa x sa pamamagitan ng pag-isolate sa x sa kaliwang bahagi ng equal sign.

$$-2x+3y=13$$

I-subtract ang 3y mula sa magkabilang dulo ng equation.

$$-2x=-3y+13$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang -2.

$$x=-\frac{1}{2}\left(-3y+13\right)$$

I-multiply ang -\frac{1}{2} times -3y+13.

$$x=\frac{3}{2}y-\frac{13}{2}$$

I-substitute ang \frac{3y-13}{2} para sa x sa kabilang equation na 6x-5y=-3.

$$6\left(\frac{3}{2}y-\frac{13}{2}\right)-5y=-3$$

I-multiply ang 6 times \frac{3y-13}{2}.

$$9y-39-5y=-3$$

Idagdag ang 9y sa -5y.

$$4y-39=-3$$

Idagdag ang 39 sa magkabilang dulo ng equation.

$$4y=36$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang 4.

$$y=9$$

I-substitute ang 9 para sa y sa x=\frac{3}{2}y-\frac{13}{2}. Dahil ang nagreresultang equation ay naglalaman lang ng isang variable, maaari mong i-solve ang x nang direkta.

$$x=\frac{3}{2}\times 9-\frac{13}{2}$$

I-multiply ang \frac{3}{2} times 9.

$$x=\frac{27-13}{2}$$

Idagdag ang -\frac{13}{2} sa \frac{27}{2} sa pamamagitan ng paghahanap ng common denominator at pagdadagdag sa mga numerator. Pagkatapos ay ibawas ang fraction sa lowest terms nito kung posible.

$$x=7$$

Nalutas na ang system.

$$x=7,y=9$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Mga Matrix

Ilagay ang mga equation sa standard form at pagkatapos ay gumamit ng mga matrix para i-solve ang system ng mga equation.

$$-2x+3y=13,6x-5y=-3$$

Isulat ang mga equation sa matrix form.

$$\left(\begin{matrix}-2&3\\6&-5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}13\\-3\end{matrix}\right)$$

I-multiply sa kaliwa ang equation sa pamamagitan ng inverse matrix ng \left(\begin{matrix}-2&3\\6&-5\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}-2&3\\6&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-2&3\\6&-5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-2&3\\6&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}13\\-3\end{matrix}\right)$$

Ang product ng isang matrix at ang inverse nito ay ang identity matrix.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-2&3\\6&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}13\\-3\end{matrix}\right)$$

I-multiply ang mga matrix sa kaliwang panig ng equal sign.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-2&3\\6&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}13\\-3\end{matrix}\right)$$

Para sa 2\times 2 matrix \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), ang inverse matrix ay ang \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), kaya maaaring isulat ulit ang matrix equation bilang isang matrix multiplication problem.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{5}{-2\left(-5\right)-3\times 6}&-\frac{3}{-2\left(-5\right)-3\times 6}\\-\frac{6}{-2\left(-5\right)-3\times 6}&-\frac{2}{-2\left(-5\right)-3\times 6}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}13\\-3\end{matrix}\right)$$

Gumamit ka ng arithmetic.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{8}&\frac{3}{8}\\\frac{3}{4}&\frac{1}{4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}13\\-3\end{matrix}\right)$$

I-multiply ang mga matrix.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{8}\times 13+\frac{3}{8}\left(-3\right)\\\frac{3}{4}\times 13+\frac{1}{4}\left(-3\right)\end{matrix}\right)$$

Gumamit ka ng arithmetic.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}7\\9\end{matrix}\right)$$

I-extract ang mga matrix element na x at y.

$$x=7,y=9$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Elimination

Para mag-solve gamit ang elimination, ang mga coefficient ng isa sa mga variable ay dapat na magkatulad sa dalawang equation nang sa gayon ay magka-cancel out ang variable kapag na-substract ang equation sa kabila.

$$-2x+3y=13,6x-5y=-3$$

Para gawing magkatumbas ang -2x at 6x, i-multiply ang lahat ng term sa magkabilang dulo ng unang equation gamit ang 6 at lahat ng term sa magkabilang dulo ng pangalawa gamit ang -2.

$$6\left(-2\right)x+6\times 3y=6\times 13,-2\times 6x-2\left(-5\right)y=-2\left(-3\right)$$

Pasimplehin.

$$-12x+18y=78,-12x+10y=6$$

I-subtract ang -12x+10y=6 mula sa -12x+18y=78 sa pamamagitan ng pagsu-subtract ng mga katulad na term sa bawat dulo ng equal sign.

$$-12x+12x+18y-10y=78-6$$

Idagdag ang -12x sa 12x. Naka-cancel out ang term na -12x at 12x ang isa\'t isa, at mag-iiwan ito ng equation na may isang variable lang na maaaring lutasin.

$$18y-10y=78-6$$

Idagdag ang 18y sa -10y.

$$8y=78-6$$

Idagdag ang 78 sa -6.

$$8y=72$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang 8.

$$y=9$$

I-substitute ang 9 para sa y sa 6x-5y=-3. Dahil ang nagreresultang equation ay naglalaman lang ng isang variable, maaari mong i-solve ang x nang direkta.

$$6x-5\times 9=-3$$

I-multiply ang -5 times 9.

$$6x-45=-3$$

Idagdag ang 45 sa magkabilang dulo ng equation.

$$6x=42$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang 6.

$$x=7$$

Nalutas na ang system.

$$x=7,y=9$$