Lutasin ang {l}{-2x+3y=1}{3x+-4y=-1}

$$\left. \begin{array} { l } { - 2 x + 3 y = 1 } \\ { 3 x + - 4 y = - 1 } \end{array} \right.$$

I-solve ang x, y

$$x=1$$

$$y=1$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Substitution

Para mag-solve ng pares ng mga equation gamit ang substitution, i-solve muna ang isa sa mga equation para sa isa sa mga variable. Pagkatapos, i-substitute ang result para sa variable na iyon sa ibang equation.

$$-2x+3y=1,3x-4y=-1$$

Pumili ng isa sa mga equation at lutasin ito para sa x sa pamamagitan ng pag-isolate sa x sa kaliwang bahagi ng equal sign.

$$-2x+3y=1$$

I-subtract ang 3y mula sa magkabilang dulo ng equation.

$$-2x=-3y+1$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang -2.

$$x=-\frac{1}{2}\left(-3y+1\right)$$

I-multiply ang -\frac{1}{2} times -3y+1.

$$x=\frac{3}{2}y-\frac{1}{2}$$

I-substitute ang \frac{3y-1}{2} para sa x sa kabilang equation na 3x-4y=-1.

$$3\left(\frac{3}{2}y-\frac{1}{2}\right)-4y=-1$$

I-multiply ang 3 times \frac{3y-1}{2}.

$$\frac{9}{2}y-\frac{3}{2}-4y=-1$$

Idagdag ang \frac{9y}{2} sa -4y.

$$\frac{1}{2}y-\frac{3}{2}=-1$$

Idagdag ang \frac{3}{2} sa magkabilang dulo ng equation.

$$\frac{1}{2}y=\frac{1}{2}$$

I-multiply ang magkabilang dulo ng equation gamit ang 2.

$$y=1$$

I-substitute ang 1 para sa y sa x=\frac{3}{2}y-\frac{1}{2}. Dahil ang nagreresultang equation ay naglalaman lang ng isang variable, maaari mong i-solve ang x nang direkta.

$$x=\frac{3-1}{2}$$

Idagdag ang -\frac{1}{2} sa \frac{3}{2} sa pamamagitan ng paghahanap ng common denominator at pagdadagdag sa mga numerator. Pagkatapos ay ibawas ang fraction sa lowest terms nito kung posible.

$$x=1$$

Nalutas na ang system.

$$x=1,y=1$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Mga Matrix

Ilagay ang mga equation sa standard form at pagkatapos ay gumamit ng mga matrix para i-solve ang system ng mga equation.

$$-2x+3y=1,3x-4y=-1$$

Isulat ang mga equation sa matrix form.

$$\left(\begin{matrix}-2&3\\3&-4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\-1\end{matrix}\right)$$

I-multiply sa kaliwa ang equation sa pamamagitan ng inverse matrix ng \left(\begin{matrix}-2&3\\3&-4\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}-2&3\\3&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-2&3\\3&-4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-2&3\\3&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\-1\end{matrix}\right)$$

Ang product ng isang matrix at ang inverse nito ay ang identity matrix.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-2&3\\3&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\-1\end{matrix}\right)$$

I-multiply ang mga matrix sa kaliwang panig ng equal sign.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-2&3\\3&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\-1\end{matrix}\right)$$

Para sa 2\times 2 na matrix \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), ang inverse matrix ay \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), kaya maaaring muling isulat ang equation ng matrix bilang problema sa multiplication ng matrix.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{4}{-2\left(-4\right)-3\times 3}&-\frac{3}{-2\left(-4\right)-3\times 3}\\-\frac{3}{-2\left(-4\right)-3\times 3}&-\frac{2}{-2\left(-4\right)-3\times 3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\-1\end{matrix}\right)$$

Gumamit ka ng arithmetic.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4&3\\3&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\-1\end{matrix}\right)$$

I-multiply ang mga matrix.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4+3\left(-1\right)\\3+2\left(-1\right)\end{matrix}\right)$$

Gumamit ka ng arithmetic.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\1\end{matrix}\right)$$

I-extract ang mga matrix element na x at y.

$$x=1,y=1$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Elimination

Para mag-solve gamit ang elimination, ang mga coefficient ng isa sa mga variable ay dapat na magkatulad sa dalawang equation nang sa gayon ay magka-cancel out ang variable kapag na-substract ang equation sa kabila.

$$-2x+3y=1,3x-4y=-1$$

Para gawing magkatumbas ang -2x at 3x, i-multiply ang lahat ng term sa magkabilang dulo ng unang equation gamit ang 3 at lahat ng term sa magkabilang dulo ng pangalawa gamit ang -2.

$$3\left(-2\right)x+3\times 3y=3,-2\times 3x-2\left(-4\right)y=-2\left(-1\right)$$

Pasimplehin.

$$-6x+9y=3,-6x+8y=2$$

I-subtract ang -6x+8y=2 mula sa -6x+9y=3 sa pamamagitan ng pagsu-subtract ng mga katulad na term sa bawat dulo ng equal sign.

$$-6x+6x+9y-8y=3-2$$

Idagdag ang -6x sa 6x. Naka-cancel out ang term na -6x at 6x ang isa\'t isa, at mag-iiwan ito ng equation na may isang variable lang na maaaring lutasin.

$$9y-8y=3-2$$

Idagdag ang 9y sa -8y.

$$y=3-2$$

Idagdag ang 3 sa -2.

$$y=1$$

I-substitute ang 1 para sa y sa 3x-4y=-1. Dahil ang nagreresultang equation ay naglalaman lang ng isang variable, maaari mong i-solve ang x nang direkta.

$$3x-4=-1$$

Idagdag ang 4 sa magkabilang dulo ng equation.

$$3x=3$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang 3.

$$x=1$$

Nalutas na ang system.

$$x=1,y=1$$