Lutasin ang {l}{-15A+3B=21}{-15B-3A=-14}

$$\left. \begin{array} { l } { - 15 A + 3 B = 21 } \\ { - 15 B - 3 A = - 14 } \end{array} \right.$$

I-solve ang A, B

$$A = -\frac{7}{6} = -1\frac{1}{6} \approx -1.166666667$$

$$B = \frac{7}{6} = 1\frac{1}{6} \approx 1.166666667$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Substitution

Para mag-solve ng pares ng mga equation gamit ang substitution, i-solve muna ang isa sa mga equation para sa isa sa mga variable. Pagkatapos, i-substitute ang result para sa variable na iyon sa ibang equation.

$$-15A+3B=21,-3A-15B=-14$$

Pumili ng isa sa mga equation at lutasin ito para sa A sa pamamagitan ng pag-isolate sa A sa kaliwang bahagi ng equal sign.

$$-15A+3B=21$$

I-subtract ang 3B mula sa magkabilang dulo ng equation.

$$-15A=-3B+21$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang -15.

$$A=-\frac{1}{15}\left(-3B+21\right)$$

I-multiply ang -\frac{1}{15} times -3B+21.

$$A=\frac{1}{5}B-\frac{7}{5}$$

I-substitute ang \frac{-7+B}{5} para sa A sa kabilang equation na -3A-15B=-14.

$$-3\left(\frac{1}{5}B-\frac{7}{5}\right)-15B=-14$$

I-multiply ang -3 times \frac{-7+B}{5}.

$$-\frac{3}{5}B+\frac{21}{5}-15B=-14$$

Idagdag ang -\frac{3B}{5} sa -15B.

$$-\frac{78}{5}B+\frac{21}{5}=-14$$

I-subtract ang \frac{21}{5} mula sa magkabilang dulo ng equation.

$$-\frac{78}{5}B=-\frac{91}{5}$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang -\frac{78}{5}, na katumbas ng pagmu-multiply sa magkabilang dulo ng reciprocal ng fraction.

$$B=\frac{7}{6}$$

I-substitute ang \frac{7}{6} para sa B sa A=\frac{1}{5}B-\frac{7}{5}. Dahil ang nagreresultang equation ay naglalaman lang ng isang variable, maaari mong i-solve ang A nang direkta.

$$A=\frac{1}{5}\times \frac{7}{6}-\frac{7}{5}$$

I-multiply ang \frac{1}{5} times \frac{7}{6} sa pamamagitan ng pagmu-multiply sa numerator times numerator at denominator times denominator. Pagkatapos, i-reduce ang fraction sa lowest terms nito kung posible.

$$A=\frac{7}{30}-\frac{7}{5}$$

Idagdag ang -\frac{7}{5} sa \frac{7}{30} sa pamamagitan ng paghahanap ng common denominator at pagdadagdag sa mga numerator. Pagkatapos ay ibawas ang fraction sa lowest terms nito kung posible.

$$A=-\frac{7}{6}$$

Nalutas na ang system.

$$A=-\frac{7}{6},B=\frac{7}{6}$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Mga Matrix

Ilagay ang mga equation sa standard form at pagkatapos ay gumamit ng mga matrix para i-solve ang system ng mga equation.

$$-15A+3B=21,-3A-15B=-14$$

Isulat ang mga equation sa matrix form.

$$\left(\begin{matrix}-15&3\\-3&-15\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}A\\B\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}21\\-14\end{matrix}\right)$$

I-multiply sa kaliwa ang equation sa pamamagitan ng inverse matrix ng \left(\begin{matrix}-15&3\\-3&-15\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}-15&3\\-3&-15\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-15&3\\-3&-15\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}A\\B\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-15&3\\-3&-15\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}21\\-14\end{matrix}\right)$$

Ang product ng isang matrix at ang inverse nito ay ang identity matrix.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}A\\B\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-15&3\\-3&-15\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}21\\-14\end{matrix}\right)$$

I-multiply ang mga matrix sa kaliwang panig ng equal sign.

$$\left(\begin{matrix}A\\B\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-15&3\\-3&-15\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}21\\-14\end{matrix}\right)$$

Para sa 2\times 2 na matrix \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), ang inverse matrix ay \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), kaya maaaring muling isulat ang equation ng matrix bilang problema sa multiplication ng matrix.

$$\left(\begin{matrix}A\\B\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{15}{-15\left(-15\right)-3\left(-3\right)}&-\frac{3}{-15\left(-15\right)-3\left(-3\right)}\\-\frac{-3}{-15\left(-15\right)-3\left(-3\right)}&-\frac{15}{-15\left(-15\right)-3\left(-3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}21\\-14\end{matrix}\right)$$

Gumamit ka ng arithmetic.

$$\left(\begin{matrix}A\\B\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{5}{78}&-\frac{1}{78}\\\frac{1}{78}&-\frac{5}{78}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}21\\-14\end{matrix}\right)$$

I-multiply ang mga matrix.

$$\left(\begin{matrix}A\\B\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{5}{78}\times 21-\frac{1}{78}\left(-14\right)\\\frac{1}{78}\times 21-\frac{5}{78}\left(-14\right)\end{matrix}\right)$$

Gumamit ka ng arithmetic.

$$\left(\begin{matrix}A\\B\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{7}{6}\\\frac{7}{6}\end{matrix}\right)$$

I-extract ang mga matrix element na A at B.

$$A=-\frac{7}{6},B=\frac{7}{6}$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Elimination

Para mag-solve gamit ang elimination, ang mga coefficient ng isa sa mga variable ay dapat na magkatulad sa dalawang equation nang sa gayon ay magka-cancel out ang variable kapag na-substract ang equation sa kabila.

$$-15A+3B=21,-3A-15B=-14$$

Para gawing magkatumbas ang -15A at -3A, i-multiply ang lahat ng term sa magkabilang dulo ng unang equation gamit ang -3 at lahat ng term sa magkabilang dulo ng pangalawa gamit ang -15.

$$-3\left(-15\right)A-3\times 3B=-3\times 21,-15\left(-3\right)A-15\left(-15\right)B=-15\left(-14\right)$$

Pasimplehin.

$$45A-9B=-63,45A+225B=210$$

I-subtract ang 45A+225B=210 mula sa 45A-9B=-63 sa pamamagitan ng pagsu-subtract ng mga katulad na term sa bawat dulo ng equal sign.

$$45A-45A-9B-225B=-63-210$$

Idagdag ang 45A sa -45A. Naka-cancel out ang term na 45A at -45A ang isa\'t isa, at mag-iiwan ito ng equation na may isang variable lang na maaaring lutasin.

$$-9B-225B=-63-210$$

Idagdag ang -9B sa -225B.

$$-234B=-63-210$$

Idagdag ang -63 sa -210.

$$-234B=-273$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang -234.

$$B=\frac{7}{6}$$

I-substitute ang \frac{7}{6} para sa B sa -3A-15B=-14. Dahil ang nagreresultang equation ay naglalaman lang ng isang variable, maaari mong i-solve ang A nang direkta.

$$-3A-15\times \frac{7}{6}=-14$$

I-multiply ang -15 times \frac{7}{6}.

$$-3A-\frac{35}{2}=-14$$

Idagdag ang \frac{35}{2} sa magkabilang dulo ng equation.

$$-3A=\frac{7}{2}$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang -3.

$$A=-\frac{7}{6}$$

Nalutas na ang system.

$$A=-\frac{7}{6},B=\frac{7}{6}$$