Lutasin ang {l}{-10y+9x=-9}{10y+5x=-5}

$$\left. \begin{array} { l } { - 10 y + 9 x = - 9 } \\ { 10 y + 5 x = - 5 } \end{array} \right.$$

I-solve ang y, x

$$x=-1$$

$$y=0$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Substitution

Para mag-solve ng pares ng mga equation gamit ang substitution, i-solve muna ang isa sa mga equation para sa isa sa mga variable. Pagkatapos, i-substitute ang result para sa variable na iyon sa ibang equation.

$$-10y+9x=-9,10y+5x=-5$$

Pumili ng isa sa mga equation at lutasin ito para sa y sa pamamagitan ng pag-isolate sa y sa kaliwang bahagi ng equal sign.

$$-10y+9x=-9$$

I-subtract ang 9x mula sa magkabilang dulo ng equation.

$$-10y=-9x-9$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang -10.

$$y=-\frac{1}{10}\left(-9x-9\right)$$

I-multiply ang -\frac{1}{10} times -9x-9.

$$y=\frac{9}{10}x+\frac{9}{10}$$

I-substitute ang \frac{9+9x}{10} para sa y sa kabilang equation na 10y+5x=-5.

$$10\left(\frac{9}{10}x+\frac{9}{10}\right)+5x=-5$$

I-multiply ang 10 times \frac{9+9x}{10}.

$$9x+9+5x=-5$$

Idagdag ang 9x sa 5x.

$$14x+9=-5$$

I-subtract ang 9 mula sa magkabilang dulo ng equation.

$$14x=-14$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang 14.

$$x=-1$$

I-substitute ang -1 para sa x sa y=\frac{9}{10}x+\frac{9}{10}. Dahil ang nagreresultang equation ay naglalaman lang ng isang variable, maaari mong i-solve ang y nang direkta.

$$y=\frac{9}{10}\left(-1\right)+\frac{9}{10}$$

I-multiply ang \frac{9}{10} times -1.

$$y=\frac{-9+9}{10}$$

Idagdag ang \frac{9}{10} sa -\frac{9}{10} sa pamamagitan ng paghahanap ng common denominator at pagdadagdag sa mga numerator. Pagkatapos ay ibawas ang fraction sa lowest terms nito kung posible.

$$y=0$$

Nalutas na ang system.

$$y=0,x=-1$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Mga Matrix

Ilagay ang mga equation sa standard form at pagkatapos ay gumamit ng mga matrix para i-solve ang system ng mga equation.

$$-10y+9x=-9,10y+5x=-5$$

Isulat ang mga equation sa matrix form.

$$\left(\begin{matrix}-10&9\\10&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-9\\-5\end{matrix}\right)$$

I-multiply sa kaliwa ang equation sa pamamagitan ng inverse matrix ng \left(\begin{matrix}-10&9\\10&5\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}-10&9\\10&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-10&9\\10&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-10&9\\10&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-9\\-5\end{matrix}\right)$$

Ang product ng isang matrix at ang inverse nito ay ang identity matrix.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-10&9\\10&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-9\\-5\end{matrix}\right)$$

I-multiply ang mga matrix sa kaliwang panig ng equal sign.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-10&9\\10&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-9\\-5\end{matrix}\right)$$

Para sa 2\times 2 na matrix \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), ang inverse matrix ay \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), kaya maaaring muling isulat ang equation ng matrix bilang problema sa multiplication ng matrix.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{-10\times 5-9\times 10}&-\frac{9}{-10\times 5-9\times 10}\\-\frac{10}{-10\times 5-9\times 10}&-\frac{10}{-10\times 5-9\times 10}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-9\\-5\end{matrix}\right)$$

Gumamit ka ng arithmetic.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{28}&\frac{9}{140}\\\frac{1}{14}&\frac{1}{14}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-9\\-5\end{matrix}\right)$$

I-multiply ang mga matrix.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{28}\left(-9\right)+\frac{9}{140}\left(-5\right)\\\frac{1}{14}\left(-9\right)+\frac{1}{14}\left(-5\right)\end{matrix}\right)$$

Gumamit ka ng arithmetic.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0\\-1\end{matrix}\right)$$

I-extract ang mga matrix element na y at x.

$$y=0,x=-1$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Elimination

Para mag-solve gamit ang elimination, ang mga coefficient ng isa sa mga variable ay dapat na magkatulad sa dalawang equation nang sa gayon ay magka-cancel out ang variable kapag na-substract ang equation sa kabila.

$$-10y+9x=-9,10y+5x=-5$$

Para gawing magkatumbas ang -10y at 10y, i-multiply ang lahat ng term sa magkabilang dulo ng unang equation gamit ang 10 at lahat ng term sa magkabilang dulo ng pangalawa gamit ang -10.

$$10\left(-10\right)y+10\times 9x=10\left(-9\right),-10\times 10y-10\times 5x=-10\left(-5\right)$$

Pasimplehin.

$$-100y+90x=-90,-100y-50x=50$$

I-subtract ang -100y-50x=50 mula sa -100y+90x=-90 sa pamamagitan ng pagsu-subtract ng mga katulad na term sa bawat dulo ng equal sign.

$$-100y+100y+90x+50x=-90-50$$

Idagdag ang -100y sa 100y. Naka-cancel out ang term na -100y at 100y ang isa\'t isa, at mag-iiwan ito ng equation na may isang variable lang na maaaring lutasin.

$$90x+50x=-90-50$$

Idagdag ang 90x sa 50x.

$$140x=-90-50$$

Idagdag ang -90 sa -50.

$$140x=-140$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang 140.

$$x=-1$$

I-substitute ang -1 para sa x sa 10y+5x=-5. Dahil ang nagreresultang equation ay naglalaman lang ng isang variable, maaari mong i-solve ang y nang direkta.

$$10y+5\left(-1\right)=-5$$

I-multiply ang 5 times -1.

$$10y-5=-5$$

Idagdag ang 5 sa magkabilang dulo ng equation.

$$10y=0$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang 10.

$$y=0$$

Nalutas na ang system.

$$y=0,x=-1$$