Lutasin ang {l}{-10x-7y=-5}{7x+5y=4}

$$\left. \begin{array} { l } { - 10 x - 7 y = - 5 } \\ { 7 x + 5 y = 4 } \end{array} \right.$$

I-solve ang x, y

$$x=-3$$

$$y=5$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Substitution

Para mag-solve ng pares ng mga equation gamit ang substitution, i-solve muna ang isa sa mga equation para sa isa sa mga variable. Pagkatapos, i-substitute ang result para sa variable na iyon sa ibang equation.

$$-10x-7y=-5,7x+5y=4$$

Pumili ng isa sa mga equation at lutasin ito para sa x sa pamamagitan ng pag-isolate sa x sa kaliwang bahagi ng equal sign.

$$-10x-7y=-5$$

Idagdag ang 7y sa magkabilang dulo ng equation.

$$-10x=7y-5$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang -10.

$$x=-\frac{1}{10}\left(7y-5\right)$$

I-multiply ang -\frac{1}{10} times 7y-5.

$$x=-\frac{7}{10}y+\frac{1}{2}$$

I-substitute ang -\frac{7y}{10}+\frac{1}{2} para sa x sa kabilang equation na 7x+5y=4.

$$7\left(-\frac{7}{10}y+\frac{1}{2}\right)+5y=4$$

I-multiply ang 7 times -\frac{7y}{10}+\frac{1}{2}.

$$-\frac{49}{10}y+\frac{7}{2}+5y=4$$

Idagdag ang -\frac{49y}{10} sa 5y.

$$\frac{1}{10}y+\frac{7}{2}=4$$

I-subtract ang \frac{7}{2} mula sa magkabilang dulo ng equation.

$$\frac{1}{10}y=\frac{1}{2}$$

I-multiply ang magkabilang dulo ng equation gamit ang 10.

$$y=5$$

I-substitute ang 5 para sa y sa x=-\frac{7}{10}y+\frac{1}{2}. Dahil ang nagreresultang equation ay naglalaman lang ng isang variable, maaari mong i-solve ang x nang direkta.

$$x=-\frac{7}{10}\times 5+\frac{1}{2}$$

I-multiply ang -\frac{7}{10} times 5.

$$x=\frac{-7+1}{2}$$

Idagdag ang \frac{1}{2} sa -\frac{7}{2} sa pamamagitan ng paghahanap ng common denominator at pagdadagdag sa mga numerator. Pagkatapos ay ibawas ang fraction sa lowest terms nito kung posible.

$$x=-3$$

Nalutas na ang system.

$$x=-3,y=5$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Mga Matrix

Ilagay ang mga equation sa standard form at pagkatapos ay gumamit ng mga matrix para i-solve ang system ng mga equation.

$$-10x-7y=-5,7x+5y=4$$

Isulat ang mga equation sa matrix form.

$$\left(\begin{matrix}-10&-7\\7&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-5\\4\end{matrix}\right)$$

I-multiply sa kaliwa ang equation sa pamamagitan ng inverse matrix ng \left(\begin{matrix}-10&-7\\7&5\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}-10&-7\\7&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-10&-7\\7&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-10&-7\\7&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-5\\4\end{matrix}\right)$$

Ang product ng isang matrix at ang inverse nito ay ang identity matrix.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-10&-7\\7&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-5\\4\end{matrix}\right)$$

I-multiply ang mga matrix sa kaliwang panig ng equal sign.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-10&-7\\7&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-5\\4\end{matrix}\right)$$

Para sa 2\times 2 na matrix \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), ang inverse matrix ay \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), kaya maaaring muling isulat ang equation ng matrix bilang problema sa multiplication ng matrix.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{-10\times 5-\left(-7\times 7\right)}&-\frac{-7}{-10\times 5-\left(-7\times 7\right)}\\-\frac{7}{-10\times 5-\left(-7\times 7\right)}&-\frac{10}{-10\times 5-\left(-7\times 7\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-5\\4\end{matrix}\right)$$

Gumamit ka ng arithmetic.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-5&-7\\7&10\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-5\\4\end{matrix}\right)$$

I-multiply ang mga matrix.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-5\left(-5\right)-7\times 4\\7\left(-5\right)+10\times 4\end{matrix}\right)$$

Gumamit ka ng arithmetic.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-3\\5\end{matrix}\right)$$

I-extract ang mga matrix element na x at y.

$$x=-3,y=5$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Elimination

Para mag-solve gamit ang elimination, ang mga coefficient ng isa sa mga variable ay dapat na magkatulad sa dalawang equation nang sa gayon ay magka-cancel out ang variable kapag na-substract ang equation sa kabila.

$$-10x-7y=-5,7x+5y=4$$

Para gawing magkatumbas ang -10x at 7x, i-multiply ang lahat ng term sa magkabilang dulo ng unang equation gamit ang 7 at lahat ng term sa magkabilang dulo ng pangalawa gamit ang -10.

$$7\left(-10\right)x+7\left(-7\right)y=7\left(-5\right),-10\times 7x-10\times 5y=-10\times 4$$

Pasimplehin.

$$-70x-49y=-35,-70x-50y=-40$$

I-subtract ang -70x-50y=-40 mula sa -70x-49y=-35 sa pamamagitan ng pagsu-subtract ng mga katulad na term sa bawat dulo ng equal sign.

$$-70x+70x-49y+50y=-35+40$$

Idagdag ang -70x sa 70x. Naka-cancel out ang term na -70x at 70x ang isa\'t isa, at mag-iiwan ito ng equation na may isang variable lang na maaaring lutasin.

$$-49y+50y=-35+40$$

Idagdag ang -49y sa 50y.

$$y=-35+40$$

Idagdag ang -35 sa 40.

$$y=5$$

I-substitute ang 5 para sa y sa 7x+5y=4. Dahil ang nagreresultang equation ay naglalaman lang ng isang variable, maaari mong i-solve ang x nang direkta.

$$7x+5\times 5=4$$

I-multiply ang 5 times 5.

$$7x+25=4$$

I-subtract ang 25 mula sa magkabilang dulo ng equation.

$$7x=-21$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang 7.

$$x=-3$$

Nalutas na ang system.

$$x=-3,y=5$$