Lutasin ang {l}{-10x+20y=460}{30x+60y=1620}

$$\left. \begin{array} { l } { - 10 x + 20 y = 460 } \\ { 30 x + 60 y = 1620 } \end{array} \right.$$

I-solve ang x, y

$$x=4$$

$$y=25$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Substitution

Para mag-solve ng pares ng mga equation gamit ang substitution, i-solve muna ang isa sa mga equation para sa isa sa mga variable. Pagkatapos, i-substitute ang result para sa variable na iyon sa ibang equation.

$$-10x+20y=460,30x+60y=1620$$

Pumili ng isa sa mga equation at lutasin ito para sa x sa pamamagitan ng pag-isolate sa x sa kaliwang bahagi ng equal sign.

$$-10x+20y=460$$

I-subtract ang 20y mula sa magkabilang dulo ng equation.

$$-10x=-20y+460$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang -10.

$$x=-\frac{1}{10}\left(-20y+460\right)$$

I-multiply ang -\frac{1}{10} times -20y+460.

$$x=2y-46$$

I-substitute ang -46+2y para sa x sa kabilang equation na 30x+60y=1620.

$$30\left(2y-46\right)+60y=1620$$

I-multiply ang 30 times -46+2y.

$$60y-1380+60y=1620$$

Idagdag ang 60y sa 60y.

$$120y-1380=1620$$

Idagdag ang 1380 sa magkabilang dulo ng equation.

$$120y=3000$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang 120.

$$y=25$$

I-substitute ang 25 para sa y sa x=2y-46. Dahil ang nagreresultang equation ay naglalaman lang ng isang variable, maaari mong i-solve ang x nang direkta.

$$x=2\times 25-46$$

I-multiply ang 2 times 25.

$$x=50-46$$

Idagdag ang -46 sa 50.

$$x=4$$

Nalutas na ang system.

$$x=4,y=25$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Mga Matrix

Ilagay ang mga equation sa standard form at pagkatapos ay gumamit ng mga matrix para i-solve ang system ng mga equation.

$$-10x+20y=460,30x+60y=1620$$

Isulat ang mga equation sa matrix form.

$$\left(\begin{matrix}-10&20\\30&60\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}460\\1620\end{matrix}\right)$$

I-multiply sa kaliwa ang equation sa pamamagitan ng inverse matrix ng \left(\begin{matrix}-10&20\\30&60\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}-10&20\\30&60\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-10&20\\30&60\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-10&20\\30&60\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}460\\1620\end{matrix}\right)$$

Ang product ng isang matrix at ang inverse nito ay ang identity matrix.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-10&20\\30&60\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}460\\1620\end{matrix}\right)$$

I-multiply ang mga matrix sa kaliwang panig ng equal sign.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-10&20\\30&60\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}460\\1620\end{matrix}\right)$$

Para sa 2\times 2 na matrix \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), ang inverse matrix ay \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), kaya maaaring muling isulat ang equation ng matrix bilang problema sa multiplication ng matrix.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{60}{-10\times 60-20\times 30}&-\frac{20}{-10\times 60-20\times 30}\\-\frac{30}{-10\times 60-20\times 30}&-\frac{10}{-10\times 60-20\times 30}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}460\\1620\end{matrix}\right)$$

Gumamit ka ng arithmetic.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{20}&\frac{1}{60}\\\frac{1}{40}&\frac{1}{120}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}460\\1620\end{matrix}\right)$$

I-multiply ang mga matrix.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{20}\times 460+\frac{1}{60}\times 1620\\\frac{1}{40}\times 460+\frac{1}{120}\times 1620\end{matrix}\right)$$

Gumamit ka ng arithmetic.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\25\end{matrix}\right)$$

I-extract ang mga matrix element na x at y.

$$x=4,y=25$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Elimination

Para mag-solve gamit ang elimination, ang mga coefficient ng isa sa mga variable ay dapat na magkatulad sa dalawang equation nang sa gayon ay magka-cancel out ang variable kapag na-substract ang equation sa kabila.

$$-10x+20y=460,30x+60y=1620$$

Para gawing magkatumbas ang -10x at 30x, i-multiply ang lahat ng term sa magkabilang dulo ng unang equation gamit ang 30 at lahat ng term sa magkabilang dulo ng pangalawa gamit ang -10.

$$30\left(-10\right)x+30\times 20y=30\times 460,-10\times 30x-10\times 60y=-10\times 1620$$

Pasimplehin.

$$-300x+600y=13800,-300x-600y=-16200$$

I-subtract ang -300x-600y=-16200 mula sa -300x+600y=13800 sa pamamagitan ng pagsu-subtract ng mga katulad na term sa bawat dulo ng equal sign.

$$-300x+300x+600y+600y=13800+16200$$

Idagdag ang -300x sa 300x. Naka-cancel out ang term na -300x at 300x ang isa\'t isa, at mag-iiwan ito ng equation na may isang variable lang na maaaring lutasin.

$$600y+600y=13800+16200$$

Idagdag ang 600y sa 600y.

$$1200y=13800+16200$$

Idagdag ang 13800 sa 16200.

$$1200y=30000$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang 1200.

$$y=25$$

I-substitute ang 25 para sa y sa 30x+60y=1620. Dahil ang nagreresultang equation ay naglalaman lang ng isang variable, maaari mong i-solve ang x nang direkta.

$$30x+60\times 25=1620$$

I-multiply ang 60 times 25.

$$30x+1500=1620$$

I-subtract ang 1500 mula sa magkabilang dulo ng equation.

$$30x=120$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang 30.

$$x=4$$

Nalutas na ang system.

$$x=4,y=25$$