Lutasin ang {l}{text{onmethod.}5x-2y=4}{x=y-2}

$$\left. \begin{array} { l } { \text { on method. } 5 x - 2 y = 4 } \\ { x = y - 2 } \end{array} \right.$$

I-solve ang x, y

$$x = \frac{8}{3} = 2\frac{2}{3} \approx 2.666666667$$

$$y = \frac{14}{3} = 4\frac{2}{3} \approx 4.666666667$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Substitution

Isaalang-alang ang pangalawang equation. I-subtract ang y mula sa magkabilang dulo.

$$x-y=-2$$

Para mag-solve ng pares ng mga equation gamit ang substitution, i-solve muna ang isa sa mga equation para sa isa sa mga variable. Pagkatapos, i-substitute ang result para sa variable na iyon sa ibang equation.

$$5x-2y=4,x-y=-2$$

Pumili ng isa sa mga equation at lutasin ito para sa x sa pamamagitan ng pag-isolate sa x sa kaliwang bahagi ng equal sign.

$$5x-2y=4$$

Idagdag ang 2y sa magkabilang dulo ng equation.

$$5x=2y+4$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang 5.

$$x=\frac{1}{5}\left(2y+4\right)$$

I-multiply ang \frac{1}{5} times 4+2y.

$$x=\frac{2}{5}y+\frac{4}{5}$$

I-substitute ang \frac{4+2y}{5} para sa x sa kabilang equation na x-y=-2.

$$\frac{2}{5}y+\frac{4}{5}-y=-2$$

Idagdag ang \frac{2y}{5} sa -y.

$$-\frac{3}{5}y+\frac{4}{5}=-2$$

I-subtract ang \frac{4}{5} mula sa magkabilang dulo ng equation.

$$-\frac{3}{5}y=-\frac{14}{5}$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang -\frac{3}{5}, na katumbas ng pagmu-multiply sa magkabilang dulo ng reciprocal ng fraction.

$$y=\frac{14}{3}$$

I-substitute ang \frac{14}{3} para sa y sa x=\frac{2}{5}y+\frac{4}{5}. Dahil ang nagreresultang equation ay naglalaman lang ng isang variable, maaari mong i-solve ang x nang direkta.

$$x=\frac{2}{5}\times \frac{14}{3}+\frac{4}{5}$$

I-multiply ang \frac{2}{5} times \frac{14}{3} sa pamamagitan ng pagmu-multiply sa numerator times numerator at denominator times denominator. Pagkatapos, i-reduce ang fraction sa lowest terms nito kung posible.

$$x=\frac{28}{15}+\frac{4}{5}$$

Idagdag ang \frac{4}{5} sa \frac{28}{15} sa pamamagitan ng paghahanap ng common denominator at pagdadagdag sa mga numerator. Pagkatapos ay ibawas ang fraction sa lowest terms nito kung posible.

$$x=\frac{8}{3}$$

Nalutas na ang system.

$$x=\frac{8}{3},y=\frac{14}{3}$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Mga Matrix

Isaalang-alang ang pangalawang equation. I-subtract ang y mula sa magkabilang dulo.

$$x-y=-2$$

Ilagay ang mga equation sa standard form at pagkatapos ay gumamit ng mga matrix para i-solve ang system ng mga equation.

$$5x-2y=4,x-y=-2$$

Isulat ang mga equation sa matrix form.

$$\left(\begin{matrix}5&-2\\1&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\-2\end{matrix}\right)$$

I-multiply sa kaliwa ang equation sa pamamagitan ng inverse matrix ng \left(\begin{matrix}5&-2\\1&-1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&-2\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&-2\\1&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-2\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\-2\end{matrix}\right)$$

Ang product ng isang matrix at ang inverse nito ay ang identity matrix.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-2\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\-2\end{matrix}\right)$$

I-multiply ang mga matrix sa kaliwang panig ng equal sign.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-2\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\-2\end{matrix}\right)$$

Para sa 2\times 2 na matrix \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), ang inverse matrix ay \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), kaya maaaring muling isulat ang equation ng matrix bilang problema sa multiplication ng matrix.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{5\left(-1\right)-\left(-2\right)}&-\frac{-2}{5\left(-1\right)-\left(-2\right)}\\-\frac{1}{5\left(-1\right)-\left(-2\right)}&\frac{5}{5\left(-1\right)-\left(-2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\-2\end{matrix}\right)$$

Gumamit ka ng arithmetic.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3}&-\frac{2}{3}\\\frac{1}{3}&-\frac{5}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\-2\end{matrix}\right)$$

I-multiply ang mga matrix.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3}\times 4-\frac{2}{3}\left(-2\right)\\\frac{1}{3}\times 4-\frac{5}{3}\left(-2\right)\end{matrix}\right)$$

Gumamit ka ng arithmetic.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{8}{3}\\\frac{14}{3}\end{matrix}\right)$$

I-extract ang mga matrix element na x at y.

$$x=\frac{8}{3},y=\frac{14}{3}$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Elimination

Isaalang-alang ang pangalawang equation. I-subtract ang y mula sa magkabilang dulo.

$$x-y=-2$$

Para mag-solve gamit ang elimination, ang mga coefficient ng isa sa mga variable ay dapat na magkatulad sa dalawang equation nang sa gayon ay magka-cancel out ang variable kapag na-substract ang equation sa kabila.

$$5x-2y=4,x-y=-2$$

Para gawing magkatumbas ang 5x at x, i-multiply ang lahat ng term sa magkabilang dulo ng unang equation gamit ang 1 at lahat ng term sa magkabilang dulo ng pangalawa gamit ang 5.

$$5x-2y=4,5x+5\left(-1\right)y=5\left(-2\right)$$

Pasimplehin.

$$5x-2y=4,5x-5y=-10$$

I-subtract ang 5x-5y=-10 mula sa 5x-2y=4 sa pamamagitan ng pagsu-subtract ng mga katulad na term sa bawat dulo ng equal sign.

$$5x-5x-2y+5y=4+10$$

Idagdag ang 5x sa -5x. Naka-cancel out ang term na 5x at -5x ang isa\'t isa, at mag-iiwan ito ng equation na may isang variable lang na maaaring lutasin.

$$-2y+5y=4+10$$

Idagdag ang -2y sa 5y.

$$3y=4+10$$

Idagdag ang 4 sa 10.

$$3y=14$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang 3.

$$y=\frac{14}{3}$$

I-substitute ang \frac{14}{3} para sa y sa x-y=-2. Dahil ang nagreresultang equation ay naglalaman lang ng isang variable, maaari mong i-solve ang x nang direkta.

$$x-\frac{14}{3}=-2$$

Idagdag ang \frac{14}{3} sa magkabilang dulo ng equation.

$$x=\frac{8}{3}$$

Nalutas na ang system.

$$x=\frac{8}{3},y=\frac{14}{3}$$