Lutasin ang {l}{y+2z/3=4}{5y/6+7z/3=8}

$$\left. \begin{array} { l } { \frac { y + 2 z } { 3 } = 4 } \\ { \frac { 5 y } { 6 } + \frac { 7 z } { 3 } = 8 } \end{array} \right.$$

I-solve ang y, z

$$y=18$$

$$z=-3$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Substitution

Isaalang-alang ang unang equation. I-multiply ang magkabilang dulo ng equation gamit ang 3.

$$y+2z=4\times 3$$

I-multiply ang 4 at 3 para makuha ang 12.

$$y+2z=12$$

Isaalang-alang ang pangalawang equation. Paramihin ang dalawang gilid ng equation nang 6, ang least common multiple ng 6,3.

$$5y+2\times 7z=48$$

I-multiply ang 2 at 7 para makuha ang 14.

$$5y+14z=48$$

Para mag-solve ng pares ng mga equation gamit ang substitution, i-solve muna ang isa sa mga equation para sa isa sa mga variable. Pagkatapos, i-substitute ang result para sa variable na iyon sa ibang equation.

$$y+2z=12,5y+14z=48$$

Pumili ng isa sa mga equation at lutasin ito para sa y sa pamamagitan ng pag-isolate sa y sa kaliwang bahagi ng equal sign.

$$y+2z=12$$

I-subtract ang 2z mula sa magkabilang dulo ng equation.

$$y=-2z+12$$

I-substitute ang -2z+12 para sa y sa kabilang equation na 5y+14z=48.

$$5\left(-2z+12\right)+14z=48$$

I-multiply ang 5 times -2z+12.

$$-10z+60+14z=48$$

Idagdag ang -10z sa 14z.

$$4z+60=48$$

I-subtract ang 60 mula sa magkabilang dulo ng equation.

$$4z=-12$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang 4.

$$z=-3$$

I-substitute ang -3 para sa z sa y=-2z+12. Dahil ang nagreresultang equation ay naglalaman lang ng isang variable, maaari mong i-solve ang y nang direkta.

$$y=-2\left(-3\right)+12$$

I-multiply ang -2 times -3.

$$y=6+12$$

Idagdag ang 12 sa 6.

$$y=18$$

Nalutas na ang system.

$$y=18,z=-3$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Mga Matrix

Isaalang-alang ang unang equation. I-multiply ang magkabilang dulo ng equation gamit ang 3.

$$y+2z=4\times 3$$

I-multiply ang 4 at 3 para makuha ang 12.

$$y+2z=12$$

Isaalang-alang ang pangalawang equation. Paramihin ang dalawang gilid ng equation nang 6, ang least common multiple ng 6,3.

$$5y+2\times 7z=48$$

I-multiply ang 2 at 7 para makuha ang 14.

$$5y+14z=48$$

Ilagay ang mga equation sa standard form at pagkatapos ay gumamit ng mga matrix para i-solve ang system ng mga equation.

$$y+2z=12,5y+14z=48$$

Isulat ang mga equation sa matrix form.

$$\left(\begin{matrix}1&2\\5&14\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\z\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}12\\48\end{matrix}\right)$$

I-multiply sa kaliwa ang equation sa pamamagitan ng inverse matrix ng \left(\begin{matrix}1&2\\5&14\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\5&14\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&2\\5&14\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\z\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\5&14\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}12\\48\end{matrix}\right)$$

Ang product ng isang matrix at ang inverse nito ay ang identity matrix.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\z\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\5&14\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}12\\48\end{matrix}\right)$$

I-multiply ang mga matrix sa kaliwang panig ng equal sign.

$$\left(\begin{matrix}y\\z\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\5&14\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}12\\48\end{matrix}\right)$$

Para sa 2\times 2 na matrix \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), ang inverse matrix ay \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), kaya maaaring muling isulat ang equation ng matrix bilang problema sa multiplication ng matrix.

$$\left(\begin{matrix}y\\z\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{14}{14-2\times 5}&-\frac{2}{14-2\times 5}\\-\frac{5}{14-2\times 5}&\frac{1}{14-2\times 5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}12\\48\end{matrix}\right)$$

Gumamit ka ng arithmetic.

$$\left(\begin{matrix}y\\z\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{2}&-\frac{1}{2}\\-\frac{5}{4}&\frac{1}{4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}12\\48\end{matrix}\right)$$

I-multiply ang mga matrix.

$$\left(\begin{matrix}y\\z\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{2}\times 12-\frac{1}{2}\times 48\\-\frac{5}{4}\times 12+\frac{1}{4}\times 48\end{matrix}\right)$$

Gumamit ka ng arithmetic.

$$\left(\begin{matrix}y\\z\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}18\\-3\end{matrix}\right)$$

I-extract ang mga matrix element na y at z.

$$y=18,z=-3$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Elimination

Isaalang-alang ang unang equation. I-multiply ang magkabilang dulo ng equation gamit ang 3.

$$y+2z=4\times 3$$

I-multiply ang 4 at 3 para makuha ang 12.

$$y+2z=12$$

Isaalang-alang ang pangalawang equation. Paramihin ang dalawang gilid ng equation nang 6, ang least common multiple ng 6,3.

$$5y+2\times 7z=48$$

I-multiply ang 2 at 7 para makuha ang 14.

$$5y+14z=48$$

Para mag-solve gamit ang elimination, ang mga coefficient ng isa sa mga variable ay dapat na magkatulad sa dalawang equation nang sa gayon ay magka-cancel out ang variable kapag na-substract ang equation sa kabila.

$$y+2z=12,5y+14z=48$$

Para gawing magkatumbas ang y at 5y, i-multiply ang lahat ng term sa magkabilang dulo ng unang equation gamit ang 5 at lahat ng term sa magkabilang dulo ng pangalawa gamit ang 1.

$$5y+5\times 2z=5\times 12,5y+14z=48$$

Pasimplehin.

$$5y+10z=60,5y+14z=48$$

I-subtract ang 5y+14z=48 mula sa 5y+10z=60 sa pamamagitan ng pagsu-subtract ng mga katulad na term sa bawat dulo ng equal sign.

$$5y-5y+10z-14z=60-48$$

Idagdag ang 5y sa -5y. Naka-cancel out ang term na 5y at -5y ang isa\'t isa, at mag-iiwan ito ng equation na may isang variable lang na maaaring lutasin.

$$10z-14z=60-48$$

Idagdag ang 10z sa -14z.

$$-4z=60-48$$

Idagdag ang 60 sa -48.

$$-4z=12$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang -4.

$$z=-3$$

I-substitute ang -3 para sa z sa 5y+14z=48. Dahil ang nagreresultang equation ay naglalaman lang ng isang variable, maaari mong i-solve ang y nang direkta.

$$5y+14\left(-3\right)=48$$

I-multiply ang 14 times -3.

$$5y-42=48$$

Idagdag ang 42 sa magkabilang dulo ng equation.

$$5y=90$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang 5.

$$y=18$$

Nalutas na ang system.

$$y=18,z=-3$$