Lutasin ang {l}{y+1/3x-4=1/2}{5x+y/3x+11=1}

$$\left. \begin{array} { l } { \frac { y + 1 } { 3 x - 4 } = \frac { 1 } { 2 } } \\ { \frac { 5 x + y } { 3 x + 11 } = 1 } \end{array} \right.$$

I-solve ang y, x

$$x=4$$

$$y=3$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Substitution

Isaalang-alang ang unang equation. Ang variable x ay hindi katumbas ng \frac{4}{3} dahil hindi tukoy ang division by zero. Paramihin ang dalawang gilid ng equation nang 2\left(3x-4\right), ang least common multiple ng 3x-4,2.

$$2\left(y+1\right)=3x-4$$

Gamitin ang distributive property para i-multiply ang 2 gamit ang y+1.

$$2y+2=3x-4$$

I-subtract ang 3x mula sa magkabilang dulo.

$$2y+2-3x=-4$$

I-subtract ang 2 mula sa magkabilang dulo.

$$2y-3x=-4-2$$

I-subtract ang 2 mula sa -4 para makuha ang -6.

$$2y-3x=-6$$

Isaalang-alang ang pangalawang equation. Ang variable x ay hindi katumbas ng -\frac{11}{3} dahil hindi tukoy ang division by zero. I-multiply ang magkabilang dulo ng equation gamit ang 3x+11.

$$5x+y=3x+11$$

I-subtract ang 3x mula sa magkabilang dulo.

$$5x+y-3x=11$$

Pagsamahin ang 5x at -3x para makuha ang 2x.

$$2x+y=11$$

Para mag-solve ng pares ng mga equation gamit ang substitution, i-solve muna ang isa sa mga equation para sa isa sa mga variable. Pagkatapos, i-substitute ang result para sa variable na iyon sa ibang equation.

$$2y-3x=-6,y+2x=11$$

Pumili ng isa sa mga equation at lutasin ito para sa y sa pamamagitan ng pag-isolate sa y sa kaliwang bahagi ng equal sign.

$$2y-3x=-6$$

Idagdag ang 3x sa magkabilang dulo ng equation.

$$2y=3x-6$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang 2.

$$y=\frac{1}{2}\left(3x-6\right)$$

I-multiply ang \frac{1}{2} times -6+3x.

$$y=\frac{3}{2}x-3$$

I-substitute ang \frac{3x}{2}-3 para sa y sa kabilang equation na y+2x=11.

$$\frac{3}{2}x-3+2x=11$$

Idagdag ang \frac{3x}{2} sa 2x.

$$\frac{7}{2}x-3=11$$

Idagdag ang 3 sa magkabilang dulo ng equation.

$$\frac{7}{2}x=14$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang \frac{7}{2}, na katumbas ng pagmu-multiply sa magkabilang dulo ng reciprocal ng fraction.

$$x=4$$

I-substitute ang 4 para sa x sa y=\frac{3}{2}x-3. Dahil ang nagreresultang equation ay naglalaman lang ng isang variable, maaari mong i-solve ang y nang direkta.

$$y=\frac{3}{2}\times 4-3$$

I-multiply ang \frac{3}{2} times 4.

$$y=6-3$$

Idagdag ang -3 sa 6.

$$y=3$$

Nalutas na ang system.

$$y=3,x=4$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Mga Matrix

Isaalang-alang ang unang equation. Ang variable x ay hindi katumbas ng \frac{4}{3} dahil hindi tukoy ang division by zero. Paramihin ang dalawang gilid ng equation nang 2\left(3x-4\right), ang least common multiple ng 3x-4,2.

$$2\left(y+1\right)=3x-4$$

Gamitin ang distributive property para i-multiply ang 2 gamit ang y+1.

$$2y+2=3x-4$$

I-subtract ang 3x mula sa magkabilang dulo.

$$2y+2-3x=-4$$

I-subtract ang 2 mula sa magkabilang dulo.

$$2y-3x=-4-2$$

I-subtract ang 2 mula sa -4 para makuha ang -6.

$$2y-3x=-6$$

Isaalang-alang ang pangalawang equation. Ang variable x ay hindi katumbas ng -\frac{11}{3} dahil hindi tukoy ang division by zero. I-multiply ang magkabilang dulo ng equation gamit ang 3x+11.

$$5x+y=3x+11$$

I-subtract ang 3x mula sa magkabilang dulo.

$$5x+y-3x=11$$

Pagsamahin ang 5x at -3x para makuha ang 2x.

$$2x+y=11$$

Ilagay ang mga equation sa standard form at pagkatapos ay gumamit ng mga matrix para i-solve ang system ng mga equation.

$$2y-3x=-6,y+2x=11$$

Isulat ang mga equation sa matrix form.

$$\left(\begin{matrix}2&-3\\1&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-6\\11\end{matrix}\right)$$

I-multiply sa kaliwa ang equation sa pamamagitan ng inverse matrix ng \left(\begin{matrix}2&-3\\1&2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&-3\\1&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-6\\11\end{matrix}\right)$$

Ang product ng isang matrix at ang inverse nito ay ang identity matrix.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-6\\11\end{matrix}\right)$$

I-multiply ang mga matrix sa kaliwang panig ng equal sign.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-6\\11\end{matrix}\right)$$

Para sa 2\times 2 na matrix \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), ang inverse matrix ay \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), kaya maaaring muling isulat ang equation ng matrix bilang problema sa multiplication ng matrix.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{2\times 2-\left(-3\right)}&-\frac{-3}{2\times 2-\left(-3\right)}\\-\frac{1}{2\times 2-\left(-3\right)}&\frac{2}{2\times 2-\left(-3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-6\\11\end{matrix}\right)$$

Gumamit ka ng arithmetic.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{7}&\frac{3}{7}\\-\frac{1}{7}&\frac{2}{7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-6\\11\end{matrix}\right)$$

I-multiply ang mga matrix.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{7}\left(-6\right)+\frac{3}{7}\times 11\\-\frac{1}{7}\left(-6\right)+\frac{2}{7}\times 11\end{matrix}\right)$$

Gumamit ka ng arithmetic.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\4\end{matrix}\right)$$

I-extract ang mga matrix element na y at x.

$$y=3,x=4$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Elimination

Isaalang-alang ang unang equation. Ang variable x ay hindi katumbas ng \frac{4}{3} dahil hindi tukoy ang division by zero. Paramihin ang dalawang gilid ng equation nang 2\left(3x-4\right), ang least common multiple ng 3x-4,2.

$$2\left(y+1\right)=3x-4$$

Gamitin ang distributive property para i-multiply ang 2 gamit ang y+1.

$$2y+2=3x-4$$

I-subtract ang 3x mula sa magkabilang dulo.

$$2y+2-3x=-4$$

I-subtract ang 2 mula sa magkabilang dulo.

$$2y-3x=-4-2$$

I-subtract ang 2 mula sa -4 para makuha ang -6.

$$2y-3x=-6$$

Isaalang-alang ang pangalawang equation. Ang variable x ay hindi katumbas ng -\frac{11}{3} dahil hindi tukoy ang division by zero. I-multiply ang magkabilang dulo ng equation gamit ang 3x+11.

$$5x+y=3x+11$$

I-subtract ang 3x mula sa magkabilang dulo.

$$5x+y-3x=11$$

Pagsamahin ang 5x at -3x para makuha ang 2x.

$$2x+y=11$$

Para mag-solve gamit ang elimination, ang mga coefficient ng isa sa mga variable ay dapat na magkatulad sa dalawang equation nang sa gayon ay magka-cancel out ang variable kapag na-substract ang equation sa kabila.

$$2y-3x=-6,y+2x=11$$

Para gawing magkatumbas ang 2y at y, i-multiply ang lahat ng term sa magkabilang dulo ng unang equation gamit ang 1 at lahat ng term sa magkabilang dulo ng pangalawa gamit ang 2.

$$2y-3x=-6,2y+2\times 2x=2\times 11$$

Pasimplehin.

$$2y-3x=-6,2y+4x=22$$

I-subtract ang 2y+4x=22 mula sa 2y-3x=-6 sa pamamagitan ng pagsu-subtract ng mga katulad na term sa bawat dulo ng equal sign.

$$2y-2y-3x-4x=-6-22$$

Idagdag ang 2y sa -2y. Naka-cancel out ang term na 2y at -2y ang isa\'t isa, at mag-iiwan ito ng equation na may isang variable lang na maaaring lutasin.

$$-3x-4x=-6-22$$

Idagdag ang -3x sa -4x.

$$-7x=-6-22$$

Idagdag ang -6 sa -22.

$$-7x=-28$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang -7.

$$x=4$$

I-substitute ang 4 para sa x sa y+2x=11. Dahil ang nagreresultang equation ay naglalaman lang ng isang variable, maaari mong i-solve ang y nang direkta.

$$y+2\times 4=11$$

I-multiply ang 2 times 4.

$$y+8=11$$

I-subtract ang 8 mula sa magkabilang dulo ng equation.

$$y=3$$

Nalutas na ang system.

$$y=3,x=4$$