Lutasin ang {l}{x/4+y/2=7}{x/3-y/4=2}

$$\left. \begin{array} { l } { \frac { x } { 4 } + \frac { y } { 2 } = 7 } \\ { \frac { x } { 3 } - \frac { y } { 4 } = 2 } \end{array} \right.$$

I-solve ang x, y

$$x=12$$

$$y=8$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Substitution

Isaalang-alang ang unang equation. Paramihin ang dalawang gilid ng equation nang 4, ang least common multiple ng 4,2.

$$x+2y=28$$

Isaalang-alang ang pangalawang equation. Paramihin ang dalawang gilid ng equation nang 12, ang least common multiple ng 3,4.

$$4x-3y=24$$

Para mag-solve ng pares ng mga equation gamit ang substitution, i-solve muna ang isa sa mga equation para sa isa sa mga variable. Pagkatapos, i-substitute ang result para sa variable na iyon sa ibang equation.

$$x+2y=28,4x-3y=24$$

Pumili ng isa sa mga equation at lutasin ito para sa x sa pamamagitan ng pag-isolate sa x sa kaliwang bahagi ng equal sign.

$$x+2y=28$$

I-subtract ang 2y mula sa magkabilang dulo ng equation.

$$x=-2y+28$$

I-substitute ang -2y+28 para sa x sa kabilang equation na 4x-3y=24.

$$4\left(-2y+28\right)-3y=24$$

I-multiply ang 4 times -2y+28.

$$-8y+112-3y=24$$

Idagdag ang -8y sa -3y.

$$-11y+112=24$$

I-subtract ang 112 mula sa magkabilang dulo ng equation.

$$-11y=-88$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang -11.

$$y=8$$

I-substitute ang 8 para sa y sa x=-2y+28. Dahil ang nagreresultang equation ay naglalaman lang ng isang variable, maaari mong i-solve ang x nang direkta.

$$x=-2\times 8+28$$

I-multiply ang -2 times 8.

$$x=-16+28$$

Idagdag ang 28 sa -16.

$$x=12$$

Nalutas na ang system.

$$x=12,y=8$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Mga Matrix

Isaalang-alang ang unang equation. Paramihin ang dalawang gilid ng equation nang 4, ang least common multiple ng 4,2.

$$x+2y=28$$

Isaalang-alang ang pangalawang equation. Paramihin ang dalawang gilid ng equation nang 12, ang least common multiple ng 3,4.

$$4x-3y=24$$

Ilagay ang mga equation sa standard form at pagkatapos ay gumamit ng mga matrix para i-solve ang system ng mga equation.

$$x+2y=28,4x-3y=24$$

Isulat ang mga equation sa matrix form.

$$\left(\begin{matrix}1&2\\4&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}28\\24\end{matrix}\right)$$

I-multiply sa kaliwa ang equation sa pamamagitan ng inverse matrix ng \left(\begin{matrix}1&2\\4&-3\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\4&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&2\\4&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\4&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}28\\24\end{matrix}\right)$$

Ang product ng isang matrix at ang inverse nito ay ang identity matrix.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\4&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}28\\24\end{matrix}\right)$$

I-multiply ang mga matrix sa kaliwang panig ng equal sign.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\4&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}28\\24\end{matrix}\right)$$

Para sa 2\times 2 na matrix \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), ang inverse matrix ay \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), kaya maaaring muling isulat ang equation ng matrix bilang problema sa multiplication ng matrix.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{-3-2\times 4}&-\frac{2}{-3-2\times 4}\\-\frac{4}{-3-2\times 4}&\frac{1}{-3-2\times 4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}28\\24\end{matrix}\right)$$

Gumamit ka ng arithmetic.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{11}&\frac{2}{11}\\\frac{4}{11}&-\frac{1}{11}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}28\\24\end{matrix}\right)$$

I-multiply ang mga matrix.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{11}\times 28+\frac{2}{11}\times 24\\\frac{4}{11}\times 28-\frac{1}{11}\times 24\end{matrix}\right)$$

Gumamit ka ng arithmetic.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}12\\8\end{matrix}\right)$$

I-extract ang mga matrix element na x at y.

$$x=12,y=8$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Elimination

Isaalang-alang ang unang equation. Paramihin ang dalawang gilid ng equation nang 4, ang least common multiple ng 4,2.

$$x+2y=28$$

Isaalang-alang ang pangalawang equation. Paramihin ang dalawang gilid ng equation nang 12, ang least common multiple ng 3,4.

$$4x-3y=24$$

Para mag-solve gamit ang elimination, ang mga coefficient ng isa sa mga variable ay dapat na magkatulad sa dalawang equation nang sa gayon ay magka-cancel out ang variable kapag na-substract ang equation sa kabila.

$$x+2y=28,4x-3y=24$$

Para gawing magkatumbas ang x at 4x, i-multiply ang lahat ng term sa magkabilang dulo ng unang equation gamit ang 4 at lahat ng term sa magkabilang dulo ng pangalawa gamit ang 1.

$$4x+4\times 2y=4\times 28,4x-3y=24$$

Pasimplehin.

$$4x+8y=112,4x-3y=24$$

I-subtract ang 4x-3y=24 mula sa 4x+8y=112 sa pamamagitan ng pagsu-subtract ng mga katulad na term sa bawat dulo ng equal sign.

$$4x-4x+8y+3y=112-24$$

Idagdag ang 4x sa -4x. Naka-cancel out ang term na 4x at -4x ang isa\'t isa, at mag-iiwan ito ng equation na may isang variable lang na maaaring lutasin.

$$8y+3y=112-24$$

Idagdag ang 8y sa 3y.

$$11y=112-24$$

Idagdag ang 112 sa -24.

$$11y=88$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang 11.

$$y=8$$

I-substitute ang 8 para sa y sa 4x-3y=24. Dahil ang nagreresultang equation ay naglalaman lang ng isang variable, maaari mong i-solve ang x nang direkta.

$$4x-3\times 8=24$$

I-multiply ang -3 times 8.

$$4x-24=24$$

Idagdag ang 24 sa magkabilang dulo ng equation.

$$4x=48$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang 4.

$$x=12$$

Nalutas na ang system.

$$x=12,y=8$$