Lutasin ang {l}{x/3-y/2=8}{x/5+y/3=1}

$$\left. \begin{array} { l } { \frac { x } { 3 } - \frac { y } { 2 } = 8 } \\ { \frac { x } { 5 } + \frac { y } { 3 } = 1 } \end{array} \right.$$

I-solve ang x, y

$$x=15$$

$$y=-6$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Substitution

Isaalang-alang ang unang equation. Paramihin ang dalawang gilid ng equation nang 6, ang least common multiple ng 3,2.

$$2x-3y=48$$

Isaalang-alang ang pangalawang equation. Paramihin ang dalawang gilid ng equation nang 15, ang least common multiple ng 5,3.

$$3x+5y=15$$

Para mag-solve ng pares ng mga equation gamit ang substitution, i-solve muna ang isa sa mga equation para sa isa sa mga variable. Pagkatapos, i-substitute ang result para sa variable na iyon sa ibang equation.

$$2x-3y=48,3x+5y=15$$

Pumili ng isa sa mga equation at lutasin ito para sa x sa pamamagitan ng pag-isolate sa x sa kaliwang bahagi ng equal sign.

$$2x-3y=48$$

Idagdag ang 3y sa magkabilang dulo ng equation.

$$2x=3y+48$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang 2.

$$x=\frac{1}{2}\left(3y+48\right)$$

I-multiply ang \frac{1}{2} times 48+3y.

$$x=\frac{3}{2}y+24$$

I-substitute ang \frac{3y}{2}+24 para sa x sa kabilang equation na 3x+5y=15.

$$3\left(\frac{3}{2}y+24\right)+5y=15$$

I-multiply ang 3 times \frac{3y}{2}+24.

$$\frac{9}{2}y+72+5y=15$$

Idagdag ang \frac{9y}{2} sa 5y.

$$\frac{19}{2}y+72=15$$

I-subtract ang 72 mula sa magkabilang dulo ng equation.

$$\frac{19}{2}y=-57$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang \frac{19}{2}, na katumbas ng pagmu-multiply sa magkabilang dulo ng reciprocal ng fraction.

$$y=-6$$

I-substitute ang -6 para sa y sa x=\frac{3}{2}y+24. Dahil ang nagreresultang equation ay naglalaman lang ng isang variable, maaari mong i-solve ang x nang direkta.

$$x=\frac{3}{2}\left(-6\right)+24$$

I-multiply ang \frac{3}{2} times -6.

$$x=-9+24$$

Idagdag ang 24 sa -9.

$$x=15$$

Nalutas na ang system.

$$x=15,y=-6$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Mga Matrix

Isaalang-alang ang unang equation. Paramihin ang dalawang gilid ng equation nang 6, ang least common multiple ng 3,2.

$$2x-3y=48$$

Isaalang-alang ang pangalawang equation. Paramihin ang dalawang gilid ng equation nang 15, ang least common multiple ng 5,3.

$$3x+5y=15$$

Ilagay ang mga equation sa standard form at pagkatapos ay gumamit ng mga matrix para i-solve ang system ng mga equation.

$$2x-3y=48,3x+5y=15$$

Isulat ang mga equation sa matrix form.

$$\left(\begin{matrix}2&-3\\3&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}48\\15\end{matrix}\right)$$

I-multiply sa kaliwa ang equation sa pamamagitan ng inverse matrix ng \left(\begin{matrix}2&-3\\3&5\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\3&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&-3\\3&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\3&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}48\\15\end{matrix}\right)$$

Ang product ng isang matrix at ang inverse nito ay ang identity matrix.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\3&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}48\\15\end{matrix}\right)$$

I-multiply ang mga matrix sa kaliwang panig ng equal sign.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\3&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}48\\15\end{matrix}\right)$$

Para sa 2\times 2 na matrix \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), ang inverse matrix ay \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), kaya maaaring muling isulat ang equation ng matrix bilang problema sa multiplication ng matrix.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{2\times 5-\left(-3\times 3\right)}&-\frac{-3}{2\times 5-\left(-3\times 3\right)}\\-\frac{3}{2\times 5-\left(-3\times 3\right)}&\frac{2}{2\times 5-\left(-3\times 3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}48\\15\end{matrix}\right)$$

Gumamit ka ng arithmetic.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{19}&\frac{3}{19}\\-\frac{3}{19}&\frac{2}{19}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}48\\15\end{matrix}\right)$$

I-multiply ang mga matrix.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{19}\times 48+\frac{3}{19}\times 15\\-\frac{3}{19}\times 48+\frac{2}{19}\times 15\end{matrix}\right)$$

Gumamit ka ng arithmetic.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}15\\-6\end{matrix}\right)$$

I-extract ang mga matrix element na x at y.

$$x=15,y=-6$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Elimination

Isaalang-alang ang unang equation. Paramihin ang dalawang gilid ng equation nang 6, ang least common multiple ng 3,2.

$$2x-3y=48$$

Isaalang-alang ang pangalawang equation. Paramihin ang dalawang gilid ng equation nang 15, ang least common multiple ng 5,3.

$$3x+5y=15$$

Para mag-solve gamit ang elimination, ang mga coefficient ng isa sa mga variable ay dapat na magkatulad sa dalawang equation nang sa gayon ay magka-cancel out ang variable kapag na-substract ang equation sa kabila.

$$2x-3y=48,3x+5y=15$$

Para gawing magkatumbas ang 2x at 3x, i-multiply ang lahat ng term sa magkabilang dulo ng unang equation gamit ang 3 at lahat ng term sa magkabilang dulo ng pangalawa gamit ang 2.

$$3\times 2x+3\left(-3\right)y=3\times 48,2\times 3x+2\times 5y=2\times 15$$

Pasimplehin.

$$6x-9y=144,6x+10y=30$$

I-subtract ang 6x+10y=30 mula sa 6x-9y=144 sa pamamagitan ng pagsu-subtract ng mga katulad na term sa bawat dulo ng equal sign.

$$6x-6x-9y-10y=144-30$$

Idagdag ang 6x sa -6x. Naka-cancel out ang term na 6x at -6x ang isa\'t isa, at mag-iiwan ito ng equation na may isang variable lang na maaaring lutasin.

$$-9y-10y=144-30$$

Idagdag ang -9y sa -10y.

$$-19y=144-30$$

Idagdag ang 144 sa -30.

$$-19y=114$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang -19.

$$y=-6$$

I-substitute ang -6 para sa y sa 3x+5y=15. Dahil ang nagreresultang equation ay naglalaman lang ng isang variable, maaari mong i-solve ang x nang direkta.

$$3x+5\left(-6\right)=15$$

I-multiply ang 5 times -6.

$$3x-30=15$$

Idagdag ang 30 sa magkabilang dulo ng equation.

$$3x=45$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang 3.

$$x=15$$

Nalutas na ang system.

$$x=15,y=-6$$