Lutasin ang {l}{x/3+y/5=7}{x/6-2y/5=-4}

$$\left. \begin{array} { l } { \frac { x } { 3 } + \frac { y } { 5 } = 7 } \\ { \frac { x } { 6 } - \frac { 2 y } { 5 } = - 4 } \end{array} \right.$$

I-solve ang x, y

$$x=12$$

$$y=15$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Substitution

Isaalang-alang ang unang equation. Paramihin ang dalawang gilid ng equation nang 15, ang least common multiple ng 3,5.

$$5x+3y=105$$

Isaalang-alang ang pangalawang equation. Paramihin ang dalawang gilid ng equation nang 30, ang least common multiple ng 6,5.

$$5x-6\times 2y=-120$$

I-multiply ang -6 at 2 para makuha ang -12.

$$5x-12y=-120$$

Para mag-solve ng pares ng mga equation gamit ang substitution, i-solve muna ang isa sa mga equation para sa isa sa mga variable. Pagkatapos, i-substitute ang result para sa variable na iyon sa ibang equation.

$$5x+3y=105,5x-12y=-120$$

Pumili ng isa sa mga equation at lutasin ito para sa x sa pamamagitan ng pag-isolate sa x sa kaliwang bahagi ng equal sign.

$$5x+3y=105$$

I-subtract ang 3y mula sa magkabilang dulo ng equation.

$$5x=-3y+105$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang 5.

$$x=\frac{1}{5}\left(-3y+105\right)$$

I-multiply ang \frac{1}{5} times -3y+105.

$$x=-\frac{3}{5}y+21$$

I-substitute ang -\frac{3y}{5}+21 para sa x sa kabilang equation na 5x-12y=-120.

$$5\left(-\frac{3}{5}y+21\right)-12y=-120$$

I-multiply ang 5 times -\frac{3y}{5}+21.

$$-3y+105-12y=-120$$

Idagdag ang -3y sa -12y.

$$-15y+105=-120$$

I-subtract ang 105 mula sa magkabilang dulo ng equation.

$$-15y=-225$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang -15.

$$y=15$$

I-substitute ang 15 para sa y sa x=-\frac{3}{5}y+21. Dahil ang nagreresultang equation ay naglalaman lang ng isang variable, maaari mong i-solve ang x nang direkta.

$$x=-\frac{3}{5}\times 15+21$$

I-multiply ang -\frac{3}{5} times 15.

$$x=-9+21$$

Idagdag ang 21 sa -9.

$$x=12$$

Nalutas na ang system.

$$x=12,y=15$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Mga Matrix

Isaalang-alang ang unang equation. Paramihin ang dalawang gilid ng equation nang 15, ang least common multiple ng 3,5.

$$5x+3y=105$$

Isaalang-alang ang pangalawang equation. Paramihin ang dalawang gilid ng equation nang 30, ang least common multiple ng 6,5.

$$5x-6\times 2y=-120$$

I-multiply ang -6 at 2 para makuha ang -12.

$$5x-12y=-120$$

Ilagay ang mga equation sa standard form at pagkatapos ay gumamit ng mga matrix para i-solve ang system ng mga equation.

$$5x+3y=105,5x-12y=-120$$

Isulat ang mga equation sa matrix form.

$$\left(\begin{matrix}5&3\\5&-12\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}105\\-120\end{matrix}\right)$$

I-multiply sa kaliwa ang equation sa pamamagitan ng inverse matrix ng \left(\begin{matrix}5&3\\5&-12\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&3\\5&-12\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&3\\5&-12\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&3\\5&-12\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}105\\-120\end{matrix}\right)$$

Ang product ng isang matrix at ang inverse nito ay ang identity matrix.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&3\\5&-12\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}105\\-120\end{matrix}\right)$$

I-multiply ang mga matrix sa kaliwang panig ng equal sign.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&3\\5&-12\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}105\\-120\end{matrix}\right)$$

Para sa 2\times 2 na matrix \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), ang inverse matrix ay \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), kaya maaaring muling isulat ang equation ng matrix bilang problema sa multiplication ng matrix.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{12}{5\left(-12\right)-3\times 5}&-\frac{3}{5\left(-12\right)-3\times 5}\\-\frac{5}{5\left(-12\right)-3\times 5}&\frac{5}{5\left(-12\right)-3\times 5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}105\\-120\end{matrix}\right)$$

Gumamit ka ng arithmetic.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{25}&\frac{1}{25}\\\frac{1}{15}&-\frac{1}{15}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}105\\-120\end{matrix}\right)$$

I-multiply ang mga matrix.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{25}\times 105+\frac{1}{25}\left(-120\right)\\\frac{1}{15}\times 105-\frac{1}{15}\left(-120\right)\end{matrix}\right)$$

Gumamit ka ng arithmetic.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}12\\15\end{matrix}\right)$$

I-extract ang mga matrix element na x at y.

$$x=12,y=15$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Elimination

Isaalang-alang ang unang equation. Paramihin ang dalawang gilid ng equation nang 15, ang least common multiple ng 3,5.

$$5x+3y=105$$

Isaalang-alang ang pangalawang equation. Paramihin ang dalawang gilid ng equation nang 30, ang least common multiple ng 6,5.

$$5x-6\times 2y=-120$$

I-multiply ang -6 at 2 para makuha ang -12.

$$5x-12y=-120$$

Para mag-solve gamit ang elimination, ang mga coefficient ng isa sa mga variable ay dapat na magkatulad sa dalawang equation nang sa gayon ay magka-cancel out ang variable kapag na-substract ang equation sa kabila.

$$5x+3y=105,5x-12y=-120$$

I-subtract ang 5x-12y=-120 mula sa 5x+3y=105 sa pamamagitan ng pagsu-subtract ng mga katulad na term sa bawat dulo ng equal sign.

$$5x-5x+3y+12y=105+120$$

Idagdag ang 5x sa -5x. Naka-cancel out ang term na 5x at -5x ang isa\'t isa, at mag-iiwan ito ng equation na may isang variable lang na maaaring lutasin.

$$3y+12y=105+120$$

Idagdag ang 3y sa 12y.

$$15y=105+120$$

Idagdag ang 105 sa 120.

$$15y=225$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang 15.

$$y=15$$

I-substitute ang 15 para sa y sa 5x-12y=-120. Dahil ang nagreresultang equation ay naglalaman lang ng isang variable, maaari mong i-solve ang x nang direkta.

$$5x-12\times 15=-120$$

I-multiply ang -12 times 15.

$$5x-180=-120$$

Idagdag ang 180 sa magkabilang dulo ng equation.

$$5x=60$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang 5.

$$x=12$$

Nalutas na ang system.

$$x=12,y=15$$