Lutasin ang {l}{x/2+y/3=10}{x+y=30}

$$\left. \begin{array} { l } { \frac { x } { 2 } + \frac { y } { 3 } = 10 } \\ { x + y = 30 } \end{array} \right.$$

I-solve ang x, y

$$x=0$$

$$y=30$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Substitution

Para mag-solve ng pares ng mga equation gamit ang substitution, i-solve muna ang isa sa mga equation para sa isa sa mga variable. Pagkatapos, i-substitute ang result para sa variable na iyon sa ibang equation.

$$\frac{1}{2}x+\frac{1}{3}y=10,x+y=30$$

Pumili ng isa sa mga equation at lutasin ito para sa x sa pamamagitan ng pag-isolate sa x sa kaliwang bahagi ng equal sign.

$$\frac{1}{2}x+\frac{1}{3}y=10$$

I-subtract ang \frac{y}{3} mula sa magkabilang dulo ng equation.

$$\frac{1}{2}x=-\frac{1}{3}y+10$$

I-multiply ang magkabilang dulo ng equation gamit ang 2.

$$x=2\left(-\frac{1}{3}y+10\right)$$

I-multiply ang 2 times -\frac{y}{3}+10.

$$x=-\frac{2}{3}y+20$$

I-substitute ang -\frac{2y}{3}+20 para sa x sa kabilang equation na x+y=30.

$$-\frac{2}{3}y+20+y=30$$

Idagdag ang -\frac{2y}{3} sa y.

$$\frac{1}{3}y+20=30$$

I-subtract ang 20 mula sa magkabilang dulo ng equation.

$$\frac{1}{3}y=10$$

I-multiply ang magkabilang dulo ng equation gamit ang 3.

$$y=30$$

I-substitute ang 30 para sa y sa x=-\frac{2}{3}y+20. Dahil ang nagreresultang equation ay naglalaman lang ng isang variable, maaari mong i-solve ang x nang direkta.

$$x=-\frac{2}{3}\times 30+20$$

I-multiply ang -\frac{2}{3} times 30.

$$x=-20+20$$

Idagdag ang 20 sa -20.

$$x=0$$

Nalutas na ang system.

$$x=0,y=30$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Mga Matrix

Ilagay ang mga equation sa standard form at pagkatapos ay gumamit ng mga matrix para i-solve ang system ng mga equation.

$$\frac{1}{2}x+\frac{1}{3}y=10,x+y=30$$

Isulat ang mga equation sa matrix form.

$$\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}&\frac{1}{3}\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}10\\30\end{matrix}\right)$$

I-multiply sa kaliwa ang equation sa pamamagitan ng inverse matrix ng \left(\begin{matrix}\frac{1}{2}&\frac{1}{3}\\1&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}&\frac{1}{3}\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}&\frac{1}{3}\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}&\frac{1}{3}\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\30\end{matrix}\right)$$

Ang product ng isang matrix at ang inverse nito ay ang identity matrix.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}&\frac{1}{3}\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\30\end{matrix}\right)$$

I-multiply ang mga matrix sa kaliwang panig ng equal sign.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}&\frac{1}{3}\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\30\end{matrix}\right)$$

Para sa 2\times 2 na matrix \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), ang inverse matrix ay \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), kaya maaaring muling isulat ang equation ng matrix bilang problema sa multiplication ng matrix.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{\frac{1}{2}-\frac{1}{3}}&-\frac{\frac{1}{3}}{\frac{1}{2}-\frac{1}{3}}\\-\frac{1}{\frac{1}{2}-\frac{1}{3}}&\frac{\frac{1}{2}}{\frac{1}{2}-\frac{1}{3}}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}10\\30\end{matrix}\right)$$

Gumamit ka ng arithmetic.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}6&-2\\-6&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}10\\30\end{matrix}\right)$$

I-multiply ang mga matrix.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}6\times 10-2\times 30\\-6\times 10+3\times 30\end{matrix}\right)$$

Gumamit ka ng arithmetic.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0\\30\end{matrix}\right)$$

I-extract ang mga matrix element na x at y.

$$x=0,y=30$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Elimination

Para mag-solve gamit ang elimination, ang mga coefficient ng isa sa mga variable ay dapat na magkatulad sa dalawang equation nang sa gayon ay magka-cancel out ang variable kapag na-substract ang equation sa kabila.

$$\frac{1}{2}x+\frac{1}{3}y=10,x+y=30$$

Para gawing magkatumbas ang \frac{x}{2} at x, i-multiply ang lahat ng term sa magkabilang dulo ng unang equation gamit ang 1 at lahat ng term sa magkabilang dulo ng pangalawa gamit ang \frac{1}{2}.

$$\frac{1}{2}x+\frac{1}{3}y=10,\frac{1}{2}x+\frac{1}{2}y=\frac{1}{2}\times 30$$

Pasimplehin.

$$\frac{1}{2}x+\frac{1}{3}y=10,\frac{1}{2}x+\frac{1}{2}y=15$$

I-subtract ang \frac{1}{2}x+\frac{1}{2}y=15 mula sa \frac{1}{2}x+\frac{1}{3}y=10 sa pamamagitan ng pagsu-subtract ng mga katulad na term sa bawat dulo ng equal sign.

$$\frac{1}{2}x-\frac{1}{2}x+\frac{1}{3}y-\frac{1}{2}y=10-15$$

Idagdag ang \frac{x}{2} sa -\frac{x}{2}. Naka-cancel out ang term na \frac{x}{2} at -\frac{x}{2} ang isa\'t isa, at mag-iiwan ito ng equation na may isang variable lang na maaaring lutasin.

$$\frac{1}{3}y-\frac{1}{2}y=10-15$$

Idagdag ang \frac{y}{3} sa -\frac{y}{2}.

$$-\frac{1}{6}y=10-15$$

Idagdag ang 10 sa -15.

$$-\frac{1}{6}y=-5$$

I-multiply ang magkabilang dulo ng equation gamit ang -6.

$$y=30$$

I-substitute ang 30 para sa y sa x+y=30. Dahil ang nagreresultang equation ay naglalaman lang ng isang variable, maaari mong i-solve ang x nang direkta.

$$x+30=30$$

I-subtract ang 30 mula sa magkabilang dulo ng equation.

$$x=0$$

Nalutas na ang system.

$$x=0,y=30$$