Lutasin ang {l}{x^2/a+y^2/b=1}{y=2x+6}

$$\left. \begin{array} { l } { \frac { x ^ { 2 } } { a } + \frac { y ^ { 2 } } { b } = 1 } \\ { y = 2 x + 6 } \end{array} \right.$$

I-solve ang x, y

$$\left\{\begin{matrix}x=-\frac{\sqrt{ab\left(4a+b-36\right)}+12a}{4a+b}\text{, }y=\frac{2\left(-\sqrt{ab\left(4a+b-36\right)}+3b\right)}{4a+b}\text{; }x=\frac{\sqrt{ab\left(4a+b-36\right)}-12a}{4a+b}\text{, }y=\frac{2\left(\sqrt{ab\left(4a+b-36\right)}+3b\right)}{4a+b}\text{, }&\left(a\geq -\frac{b}{4}+9\text{ and }a>0\text{ and }b>0\right)\text{ or }\left(a=-\frac{b}{4}+9\text{ and }b\neq 0\text{ and }b<36\right)\text{ or }\left(a\neq -\frac{b}{4}\text{ and }a\leq -\frac{b}{4}+9\text{ and }b<0\text{ and }a>0\right)\text{ or }\left(a=-\frac{b}{4}+9\text{ and }b>0\text{ and }b\neq 36\right)\text{ or }\left(a\neq -\frac{b}{4}\text{ and }a\leq -\frac{b}{4}+9\text{ and }a<0\text{ and }b>0\right)\\x=\frac{b-36}{24}\text{, }y=\frac{b+36}{12}\text{, }&a=-\frac{b}{4}\text{ and }b\neq 0\end{matrix}\right.$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Substitution at Quadratic Formula

Isaalang-alang ang unang equation. Paramihin ang dalawang gilid ng equation nang ab, ang least common multiple ng a,b.

$$bx^{2}+ay^{2}=ab$$

Isaalang-alang ang pangalawang equation. I-subtract ang 2x mula sa magkabilang dulo.

$$y-2x=6$$

Para mag-solve ng pares ng mga equation gamit ang substitution, i-solve muna ang isa sa mga equation para sa isa sa mga variable. Pagkatapos, i-substitute ang result para sa variable na iyon sa ibang equation.

$$y-2x=6,bx^{2}+ay^{2}=ab$$

I-solve ang y-2x=6 para sa y sa pamamagitan ng pag-isolate sa y sa kaliwang panig ng equal sign.

$$y-2x=6$$

I-subtract ang -2x mula sa magkabilang dulo ng equation.

$$y=2x+6$$

I-substitute ang 2x+6 para sa y sa kabilang equation na bx^{2}+ay^{2}=ab.

$$bx^{2}+a\left(2x+6\right)^{2}=ab$$

I-square ang 2x+6.

$$bx^{2}+a\left(4x^{2}+24x+36\right)=ab$$

I-multiply ang a times 4x^{2}+24x+36.

$$bx^{2}+4ax^{2}+24ax+36a=ab$$

Idagdag ang bx^{2} sa 4ax^{2}.

$$\left(4a+b\right)x^{2}+24ax+36a=ab$$

I-subtract ang ab mula sa magkabilang dulo ng equation.

$$\left(4a+b\right)x^{2}+24ax+36a-ab=0$$

Ang equation ay nasa standard form: ax^{2}+bx+c=0. I-substitute ang b+a\times 2^{2} para sa a, a\times 6\times 2\times 2 para sa b, at a\left(36-b\right) para sa c sa quadratic formula, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-24a±\sqrt{\left(24a\right)^{2}-4\left(4a+b\right)a\left(36-b\right)}}{2\left(4a+b\right)}$$

I-square ang a\times 6\times 2\times 2.

$$x=\frac{-24a±\sqrt{576a^{2}-4\left(4a+b\right)a\left(36-b\right)}}{2\left(4a+b\right)}$$

I-multiply ang -4 times b+a\times 2^{2}.

$$x=\frac{-24a±\sqrt{576a^{2}+\left(-16a-4b\right)a\left(36-b\right)}}{2\left(4a+b\right)}$$

I-multiply ang -4b-16a times a\left(36-b\right).

$$x=\frac{-24a±\sqrt{576a^{2}-4a\left(36-b\right)\left(4a+b\right)}}{2\left(4a+b\right)}$$

Idagdag ang 576a^{2} sa -4\left(b+4a\right)a\left(36-b\right).

$$x=\frac{-24a±\sqrt{4ab\left(4a+b-36\right)}}{2\left(4a+b\right)}$$

Kunin ang square root ng 4ab\left(-36+4a+b\right).

$$x=\frac{-24a±2\sqrt{ab\left(4a+b-36\right)}}{2\left(4a+b\right)}$$

I-multiply ang 2 times b+a\times 2^{2}.

$$x=\frac{-24a±2\sqrt{ab\left(4a+b-36\right)}}{8a+2b}$$

Ngayon, lutasin ang equation na x=\frac{-24a±2\sqrt{ab\left(4a+b-36\right)}}{8a+2b} kapag ang ± ay plus. Idagdag ang -24a sa 2\sqrt{ab\left(-36+4a+b\right)}.

$$x=\frac{2\sqrt{ab\left(4a+b-36\right)}-24a}{8a+2b}$$

I-divide ang -24a+2\sqrt{ab\left(-36+4a+b\right)} gamit ang 2b+8a.

$$x=\frac{\sqrt{ab\left(4a+b-36\right)}-12a}{4a+b}$$

Ngayon, lutasin ang equation na x=\frac{-24a±2\sqrt{ab\left(4a+b-36\right)}}{8a+2b} kapag ang ± ay minus. I-subtract ang 2\sqrt{ab\left(-36+4a+b\right)} mula sa -24a.

$$x=\frac{-2\sqrt{ab\left(4a+b-36\right)}-24a}{8a+2b}$$

I-divide ang -24a-2\sqrt{ab\left(-36+4a+b\right)} gamit ang 2b+8a.

$$x=-\frac{\sqrt{ab\left(4a+b-36\right)}+12a}{4a+b}$$

May dalawang solution para sa x: \frac{-12a+\sqrt{ab\left(-36+4a+b\right)}}{b+4a} at -\frac{12a+\sqrt{ab\left(-36+4a+b\right)}}{b+4a}. I-substitute ang \frac{-12a+\sqrt{ab\left(-36+4a+b\right)}}{b+4a} para sa x sa equation na y=2x+6 para hanapin ang nauugnay na solution para sa y na umaakma sa dalawang equation.

$$y=2\times \frac{\sqrt{ab\left(4a+b-36\right)}-12a}{4a+b}+6$$

Ngayon, i-substitute ang -\frac{12a+\sqrt{ab\left(-36+4a+b\right)}}{b+4a} para sa x sa equation na y=2x+6 at i-solve para hanapin ang nauugnay na solution para sa y na umaakma sa dalawang equation.

$$y=2\left(-\frac{\sqrt{ab\left(4a+b-36\right)}+12a}{4a+b}\right)+6$$

Nalutas na ang system.

$$y=2\times \frac{\sqrt{ab\left(4a+b-36\right)}-12a}{4a+b}+6,x=\frac{\sqrt{ab\left(4a+b-36\right)}-12a}{4a+b}\text{ or }y=2\left(-\frac{\sqrt{ab\left(4a+b-36\right)}+12a}{4a+b}\right)+6,x=-\frac{\sqrt{ab\left(4a+b-36\right)}+12a}{4a+b}$$

I-solve ang x, y (complex solution)

$$\left\{\begin{matrix}x=-\frac{\sqrt{ab\left(4a+b-36\right)}+12a}{4a+b}\text{, }y=\frac{2\left(-\sqrt{ab\left(4a+b-36\right)}+3b\right)}{4a+b}\text{; }x=\frac{\sqrt{ab\left(4a+b-36\right)}-12a}{4a+b}\text{, }y=\frac{2\left(\sqrt{ab\left(4a+b-36\right)}+3b\right)}{4a+b}\text{, }&a\neq -\frac{b}{4}\text{ and }a\neq 0\text{ and }b\neq 0\\x=\frac{b-36}{24}\text{, }y=\frac{b+36}{12}\text{, }&a=-\frac{b}{4}\text{ and }b\neq 0\end{matrix}\right.$$