Lutasin ang {l}{x+2/2+y-5/5=x/4+1}{x+y=x-1/3+3}

$$\left. \begin{array} { l } { \frac { x + 2 } { 2 } + \frac { y - 5 } { 5 } = \frac { x } { 4 } + 1 } \\ { x + y = \frac { x - 1 } { 3 } + 3 } \end{array} \right.$$

I-solve ang x, y

$$x=4$$

$$y=0$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Substitution

Isaalang-alang ang unang equation. Paramihin ang dalawang gilid ng equation nang 20, ang least common multiple ng 2,5,4.

$$10\left(x+2\right)+4\left(y-5\right)=5x+20$$

Gamitin ang distributive property para i-multiply ang 10 gamit ang x+2.

$$10x+20+4\left(y-5\right)=5x+20$$

Gamitin ang distributive property para i-multiply ang 4 gamit ang y-5.

$$10x+20+4y-20=5x+20$$

I-subtract ang 20 mula sa 20 para makuha ang 0.

$$10x+4y=5x+20$$

I-subtract ang 5x mula sa magkabilang dulo.

$$10x+4y-5x=20$$

Pagsamahin ang 10x at -5x para makuha ang 5x.

$$5x+4y=20$$

Isaalang-alang ang pangalawang equation. I-multiply ang magkabilang dulo ng equation gamit ang 3.

$$3x+3y=x-1+9$$

Idagdag ang -1 at 9 para makuha ang 8.

$$3x+3y=x+8$$

I-subtract ang x mula sa magkabilang dulo.

$$3x+3y-x=8$$

Pagsamahin ang 3x at -x para makuha ang 2x.

$$2x+3y=8$$

Para mag-solve ng pares ng mga equation gamit ang substitution, i-solve muna ang isa sa mga equation para sa isa sa mga variable. Pagkatapos, i-substitute ang result para sa variable na iyon sa ibang equation.

$$5x+4y=20,2x+3y=8$$

Pumili ng isa sa mga equation at lutasin ito para sa x sa pamamagitan ng pag-isolate sa x sa kaliwang bahagi ng equal sign.

$$5x+4y=20$$

I-subtract ang 4y mula sa magkabilang dulo ng equation.

$$5x=-4y+20$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang 5.

$$x=\frac{1}{5}\left(-4y+20\right)$$

I-multiply ang \frac{1}{5} times -4y+20.

$$x=-\frac{4}{5}y+4$$

I-substitute ang -\frac{4y}{5}+4 para sa x sa kabilang equation na 2x+3y=8.

$$2\left(-\frac{4}{5}y+4\right)+3y=8$$

I-multiply ang 2 times -\frac{4y}{5}+4.

$$-\frac{8}{5}y+8+3y=8$$

Idagdag ang -\frac{8y}{5} sa 3y.

$$\frac{7}{5}y+8=8$$

I-subtract ang 8 mula sa magkabilang dulo ng equation.

$$\frac{7}{5}y=0$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang \frac{7}{5}, na katumbas ng pagmu-multiply sa magkabilang dulo ng reciprocal ng fraction.

$$y=0$$

I-substitute ang 0 para sa y sa x=-\frac{4}{5}y+4. Dahil ang nagreresultang equation ay naglalaman lang ng isang variable, maaari mong i-solve ang x nang direkta.

$$x=4$$

Nalutas na ang system.

$$x=4,y=0$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Mga Matrix

Isaalang-alang ang unang equation. Paramihin ang dalawang gilid ng equation nang 20, ang least common multiple ng 2,5,4.

$$10\left(x+2\right)+4\left(y-5\right)=5x+20$$

Gamitin ang distributive property para i-multiply ang 10 gamit ang x+2.

$$10x+20+4\left(y-5\right)=5x+20$$

Gamitin ang distributive property para i-multiply ang 4 gamit ang y-5.

$$10x+20+4y-20=5x+20$$

I-subtract ang 20 mula sa 20 para makuha ang 0.

$$10x+4y=5x+20$$

I-subtract ang 5x mula sa magkabilang dulo.

$$10x+4y-5x=20$$

Pagsamahin ang 10x at -5x para makuha ang 5x.

$$5x+4y=20$$

Isaalang-alang ang pangalawang equation. I-multiply ang magkabilang dulo ng equation gamit ang 3.

$$3x+3y=x-1+9$$

Idagdag ang -1 at 9 para makuha ang 8.

$$3x+3y=x+8$$

I-subtract ang x mula sa magkabilang dulo.

$$3x+3y-x=8$$

Pagsamahin ang 3x at -x para makuha ang 2x.

$$2x+3y=8$$

Ilagay ang mga equation sa standard form at pagkatapos ay gumamit ng mga matrix para i-solve ang system ng mga equation.

$$5x+4y=20,2x+3y=8$$

Isulat ang mga equation sa matrix form.

$$\left(\begin{matrix}5&4\\2&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}20\\8\end{matrix}\right)$$

I-multiply sa kaliwa ang equation sa pamamagitan ng inverse matrix ng \left(\begin{matrix}5&4\\2&3\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&4\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&4\\2&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&4\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}20\\8\end{matrix}\right)$$

Ang product ng isang matrix at ang inverse nito ay ang identity matrix.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&4\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}20\\8\end{matrix}\right)$$

I-multiply ang mga matrix sa kaliwang panig ng equal sign.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&4\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}20\\8\end{matrix}\right)$$

Para sa 2\times 2 na matrix \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), ang inverse matrix ay \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), kaya maaaring muling isulat ang equation ng matrix bilang problema sa multiplication ng matrix.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{5\times 3-4\times 2}&-\frac{4}{5\times 3-4\times 2}\\-\frac{2}{5\times 3-4\times 2}&\frac{5}{5\times 3-4\times 2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}20\\8\end{matrix}\right)$$

Gumamit ka ng arithmetic.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{7}&-\frac{4}{7}\\-\frac{2}{7}&\frac{5}{7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}20\\8\end{matrix}\right)$$

I-multiply ang mga matrix.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{7}\times 20-\frac{4}{7}\times 8\\-\frac{2}{7}\times 20+\frac{5}{7}\times 8\end{matrix}\right)$$

Gumamit ka ng arithmetic.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\0\end{matrix}\right)$$

I-extract ang mga matrix element na x at y.

$$x=4,y=0$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Elimination

Isaalang-alang ang unang equation. Paramihin ang dalawang gilid ng equation nang 20, ang least common multiple ng 2,5,4.

$$10\left(x+2\right)+4\left(y-5\right)=5x+20$$

Gamitin ang distributive property para i-multiply ang 10 gamit ang x+2.

$$10x+20+4\left(y-5\right)=5x+20$$

Gamitin ang distributive property para i-multiply ang 4 gamit ang y-5.

$$10x+20+4y-20=5x+20$$

I-subtract ang 20 mula sa 20 para makuha ang 0.

$$10x+4y=5x+20$$

I-subtract ang 5x mula sa magkabilang dulo.

$$10x+4y-5x=20$$

Pagsamahin ang 10x at -5x para makuha ang 5x.

$$5x+4y=20$$

Isaalang-alang ang pangalawang equation. I-multiply ang magkabilang dulo ng equation gamit ang 3.

$$3x+3y=x-1+9$$

Idagdag ang -1 at 9 para makuha ang 8.

$$3x+3y=x+8$$

I-subtract ang x mula sa magkabilang dulo.

$$3x+3y-x=8$$

Pagsamahin ang 3x at -x para makuha ang 2x.

$$2x+3y=8$$

Para mag-solve gamit ang elimination, ang mga coefficient ng isa sa mga variable ay dapat na magkatulad sa dalawang equation nang sa gayon ay magka-cancel out ang variable kapag na-substract ang equation sa kabila.

$$5x+4y=20,2x+3y=8$$

Para gawing magkatumbas ang 5x at 2x, i-multiply ang lahat ng term sa magkabilang dulo ng unang equation gamit ang 2 at lahat ng term sa magkabilang dulo ng pangalawa gamit ang 5.

$$2\times 5x+2\times 4y=2\times 20,5\times 2x+5\times 3y=5\times 8$$

Pasimplehin.

$$10x+8y=40,10x+15y=40$$

I-subtract ang 10x+15y=40 mula sa 10x+8y=40 sa pamamagitan ng pagsu-subtract ng mga katulad na term sa bawat dulo ng equal sign.

$$10x-10x+8y-15y=40-40$$

Idagdag ang 10x sa -10x. Naka-cancel out ang term na 10x at -10x ang isa\'t isa, at mag-iiwan ito ng equation na may isang variable lang na maaaring lutasin.

$$8y-15y=40-40$$

Idagdag ang 8y sa -15y.

$$-7y=40-40$$

Idagdag ang 40 sa -40.

$$-7y=0$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang -7.

$$y=0$$

I-substitute ang 0 para sa y sa 2x+3y=8. Dahil ang nagreresultang equation ay naglalaman lang ng isang variable, maaari mong i-solve ang x nang direkta.

$$2x=8$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang 2.

$$x=4$$

Nalutas na ang system.

$$x=4,y=0$$