Lutasin ang {l}{x+1y-1/2+y-1/3=9}{x-1/3+y+1/2=8}

$$\left. \begin{array} { l } { \frac { x + 1 y - 1 } { 2 } + \frac { y - 1 } { 3 } = 9 } \\ { \frac { x - 1 } { 3 } + \frac { y + 1 } { 2 } = 8 } \end{array} \right.$$

I-solve ang x, y

$$x=58$$

$$y=-23$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Substitution

Isaalang-alang ang unang equation. Paramihin ang dalawang gilid ng equation nang 6, ang least common multiple ng 2,3.

$$3\left(x+1y-1\right)+2\left(y-1\right)=54$$

Gamitin ang distributive property para i-multiply ang 3 gamit ang x+1y-1.

$$3x+3y-3+2\left(y-1\right)=54$$

Gamitin ang distributive property para i-multiply ang 2 gamit ang y-1.

$$3x+3y-3+2y-2=54$$

Pagsamahin ang 3y at 2y para makuha ang 5y.

$$3x+5y-3-2=54$$

I-subtract ang 2 mula sa -3 para makuha ang -5.

$$3x+5y-5=54$$

Idagdag ang 5 sa parehong bahagi.

$$3x+5y=54+5$$

Idagdag ang 54 at 5 para makuha ang 59.

$$3x+5y=59$$

Isaalang-alang ang pangalawang equation. Paramihin ang dalawang gilid ng equation nang 6, ang least common multiple ng 3,2.

$$2\left(x-1\right)+3\left(y+1\right)=48$$

Gamitin ang distributive property para i-multiply ang 2 gamit ang x-1.

$$2x-2+3\left(y+1\right)=48$$

Gamitin ang distributive property para i-multiply ang 3 gamit ang y+1.

$$2x-2+3y+3=48$$

Idagdag ang -2 at 3 para makuha ang 1.

$$2x+1+3y=48$$

I-subtract ang 1 mula sa magkabilang dulo.

$$2x+3y=48-1$$

I-subtract ang 1 mula sa 48 para makuha ang 47.

$$2x+3y=47$$

Para mag-solve ng pares ng mga equation gamit ang substitution, i-solve muna ang isa sa mga equation para sa isa sa mga variable. Pagkatapos, i-substitute ang result para sa variable na iyon sa ibang equation.

$$3x+5y=59,2x+3y=47$$

Pumili ng isa sa mga equation at lutasin ito para sa x sa pamamagitan ng pag-isolate sa x sa kaliwang bahagi ng equal sign.

$$3x+5y=59$$

I-subtract ang 5y mula sa magkabilang dulo ng equation.

$$3x=-5y+59$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang 3.

$$x=\frac{1}{3}\left(-5y+59\right)$$

I-multiply ang \frac{1}{3} times -5y+59.

$$x=-\frac{5}{3}y+\frac{59}{3}$$

I-substitute ang \frac{-5y+59}{3} para sa x sa kabilang equation na 2x+3y=47.

$$2\left(-\frac{5}{3}y+\frac{59}{3}\right)+3y=47$$

I-multiply ang 2 times \frac{-5y+59}{3}.

$$-\frac{10}{3}y+\frac{118}{3}+3y=47$$

Idagdag ang -\frac{10y}{3} sa 3y.

$$-\frac{1}{3}y+\frac{118}{3}=47$$

I-subtract ang \frac{118}{3} mula sa magkabilang dulo ng equation.

$$-\frac{1}{3}y=\frac{23}{3}$$

I-multiply ang magkabilang dulo ng equation gamit ang -3.

$$y=-23$$

I-substitute ang -23 para sa y sa x=-\frac{5}{3}y+\frac{59}{3}. Dahil ang nagreresultang equation ay naglalaman lang ng isang variable, maaari mong i-solve ang x nang direkta.

$$x=-\frac{5}{3}\left(-23\right)+\frac{59}{3}$$

I-multiply ang -\frac{5}{3} times -23.

$$x=\frac{115+59}{3}$$

Idagdag ang \frac{59}{3} sa \frac{115}{3} sa pamamagitan ng paghahanap ng common denominator at pagdadagdag sa mga numerator. Pagkatapos ay ibawas ang fraction sa lowest terms nito kung posible.

$$x=58$$

Nalutas na ang system.

$$x=58,y=-23$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Mga Matrix

Isaalang-alang ang unang equation. Paramihin ang dalawang gilid ng equation nang 6, ang least common multiple ng 2,3.

$$3\left(x+1y-1\right)+2\left(y-1\right)=54$$

Gamitin ang distributive property para i-multiply ang 3 gamit ang x+1y-1.

$$3x+3y-3+2\left(y-1\right)=54$$

Gamitin ang distributive property para i-multiply ang 2 gamit ang y-1.

$$3x+3y-3+2y-2=54$$

Pagsamahin ang 3y at 2y para makuha ang 5y.

$$3x+5y-3-2=54$$

I-subtract ang 2 mula sa -3 para makuha ang -5.

$$3x+5y-5=54$$

Idagdag ang 5 sa parehong bahagi.

$$3x+5y=54+5$$

Idagdag ang 54 at 5 para makuha ang 59.

$$3x+5y=59$$

Isaalang-alang ang pangalawang equation. Paramihin ang dalawang gilid ng equation nang 6, ang least common multiple ng 3,2.

$$2\left(x-1\right)+3\left(y+1\right)=48$$

Gamitin ang distributive property para i-multiply ang 2 gamit ang x-1.

$$2x-2+3\left(y+1\right)=48$$

Gamitin ang distributive property para i-multiply ang 3 gamit ang y+1.

$$2x-2+3y+3=48$$

Idagdag ang -2 at 3 para makuha ang 1.

$$2x+1+3y=48$$

I-subtract ang 1 mula sa magkabilang dulo.

$$2x+3y=48-1$$

I-subtract ang 1 mula sa 48 para makuha ang 47.

$$2x+3y=47$$

Ilagay ang mga equation sa standard form at pagkatapos ay gumamit ng mga matrix para i-solve ang system ng mga equation.

$$3x+5y=59,2x+3y=47$$

Isulat ang mga equation sa matrix form.

$$\left(\begin{matrix}3&5\\2&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}59\\47\end{matrix}\right)$$

I-multiply sa kaliwa ang equation sa pamamagitan ng inverse matrix ng \left(\begin{matrix}3&5\\2&3\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&5\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&5\\2&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&5\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}59\\47\end{matrix}\right)$$

Ang product ng isang matrix at ang inverse nito ay ang identity matrix.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&5\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}59\\47\end{matrix}\right)$$

I-multiply ang mga matrix sa kaliwang panig ng equal sign.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&5\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}59\\47\end{matrix}\right)$$

Para sa 2\times 2 na matrix \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), ang inverse matrix ay \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), kaya maaaring muling isulat ang equation ng matrix bilang problema sa multiplication ng matrix.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{3\times 3-5\times 2}&-\frac{5}{3\times 3-5\times 2}\\-\frac{2}{3\times 3-5\times 2}&\frac{3}{3\times 3-5\times 2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}59\\47\end{matrix}\right)$$

Gumamit ka ng arithmetic.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-3&5\\2&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}59\\47\end{matrix}\right)$$

I-multiply ang mga matrix.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-3\times 59+5\times 47\\2\times 59-3\times 47\end{matrix}\right)$$

Gumamit ka ng arithmetic.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}58\\-23\end{matrix}\right)$$

I-extract ang mga matrix element na x at y.

$$x=58,y=-23$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Elimination

Isaalang-alang ang unang equation. Paramihin ang dalawang gilid ng equation nang 6, ang least common multiple ng 2,3.

$$3\left(x+1y-1\right)+2\left(y-1\right)=54$$

Gamitin ang distributive property para i-multiply ang 3 gamit ang x+1y-1.

$$3x+3y-3+2\left(y-1\right)=54$$

Gamitin ang distributive property para i-multiply ang 2 gamit ang y-1.

$$3x+3y-3+2y-2=54$$

Pagsamahin ang 3y at 2y para makuha ang 5y.

$$3x+5y-3-2=54$$

I-subtract ang 2 mula sa -3 para makuha ang -5.

$$3x+5y-5=54$$

Idagdag ang 5 sa parehong bahagi.

$$3x+5y=54+5$$

Idagdag ang 54 at 5 para makuha ang 59.

$$3x+5y=59$$

Isaalang-alang ang pangalawang equation. Paramihin ang dalawang gilid ng equation nang 6, ang least common multiple ng 3,2.

$$2\left(x-1\right)+3\left(y+1\right)=48$$

Gamitin ang distributive property para i-multiply ang 2 gamit ang x-1.

$$2x-2+3\left(y+1\right)=48$$

Gamitin ang distributive property para i-multiply ang 3 gamit ang y+1.

$$2x-2+3y+3=48$$

Idagdag ang -2 at 3 para makuha ang 1.

$$2x+1+3y=48$$

I-subtract ang 1 mula sa magkabilang dulo.

$$2x+3y=48-1$$

I-subtract ang 1 mula sa 48 para makuha ang 47.

$$2x+3y=47$$

Para mag-solve gamit ang elimination, ang mga coefficient ng isa sa mga variable ay dapat na magkatulad sa dalawang equation nang sa gayon ay magka-cancel out ang variable kapag na-substract ang equation sa kabila.

$$3x+5y=59,2x+3y=47$$

Para gawing magkatumbas ang 3x at 2x, i-multiply ang lahat ng term sa magkabilang dulo ng unang equation gamit ang 2 at lahat ng term sa magkabilang dulo ng pangalawa gamit ang 3.

$$2\times 3x+2\times 5y=2\times 59,3\times 2x+3\times 3y=3\times 47$$

Pasimplehin.

$$6x+10y=118,6x+9y=141$$

I-subtract ang 6x+9y=141 mula sa 6x+10y=118 sa pamamagitan ng pagsu-subtract ng mga katulad na term sa bawat dulo ng equal sign.

$$6x-6x+10y-9y=118-141$$

Idagdag ang 6x sa -6x. Naka-cancel out ang term na 6x at -6x ang isa\'t isa, at mag-iiwan ito ng equation na may isang variable lang na maaaring lutasin.

$$10y-9y=118-141$$

Idagdag ang 10y sa -9y.

$$y=118-141$$

Idagdag ang 118 sa -141.

$$y=-23$$

I-substitute ang -23 para sa y sa 2x+3y=47. Dahil ang nagreresultang equation ay naglalaman lang ng isang variable, maaari mong i-solve ang x nang direkta.

$$2x+3\left(-23\right)=47$$

I-multiply ang 3 times -23.

$$2x-69=47$$

Idagdag ang 69 sa magkabilang dulo ng equation.

$$2x=116$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang 2.

$$x=58$$

Nalutas na ang system.

$$x=58,y=-23$$