Lutasin ang {l}{x+1/y+2=2/3}{x-2/y-1=1/3}

$$\left. \begin{array} { l } { \frac { x + 1 } { y + 2 } = \frac { 2 } { 3 } } \\ { \frac { x - 2 } { y - 1 } = \frac { 1 } { 3 } } \end{array} \right.$$

I-solve ang x, y

$$x=3$$

$$y=4$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Substitution

Isaalang-alang ang unang equation. Ang variable y ay hindi katumbas ng -2 dahil hindi tukoy ang division by zero. Paramihin ang dalawang gilid ng equation nang 3\left(y+2\right), ang least common multiple ng y+2,3.

$$3\left(x+1\right)=2\left(y+2\right)$$

Gamitin ang distributive property para i-multiply ang 3 gamit ang x+1.

$$3x+3=2\left(y+2\right)$$

Gamitin ang distributive property para i-multiply ang 2 gamit ang y+2.

$$3x+3=2y+4$$

I-subtract ang 2y mula sa magkabilang dulo.

$$3x+3-2y=4$$

I-subtract ang 3 mula sa magkabilang dulo.

$$3x-2y=4-3$$

I-subtract ang 3 mula sa 4 para makuha ang 1.

$$3x-2y=1$$

Isaalang-alang ang pangalawang equation. Ang variable y ay hindi katumbas ng 1 dahil hindi tukoy ang division by zero. Paramihin ang dalawang gilid ng equation nang 3\left(y-1\right), ang least common multiple ng y-1,3.

$$3\left(x-2\right)=y-1$$

Gamitin ang distributive property para i-multiply ang 3 gamit ang x-2.

$$3x-6=y-1$$

I-subtract ang y mula sa magkabilang dulo.

$$3x-6-y=-1$$

Idagdag ang 6 sa parehong bahagi.

$$3x-y=-1+6$$

Idagdag ang -1 at 6 para makuha ang 5.

$$3x-y=5$$

Para mag-solve ng pares ng mga equation gamit ang substitution, i-solve muna ang isa sa mga equation para sa isa sa mga variable. Pagkatapos, i-substitute ang result para sa variable na iyon sa ibang equation.

$$3x-2y=1,3x-y=5$$

Pumili ng isa sa mga equation at lutasin ito para sa x sa pamamagitan ng pag-isolate sa x sa kaliwang bahagi ng equal sign.

$$3x-2y=1$$

Idagdag ang 2y sa magkabilang dulo ng equation.

$$3x=2y+1$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang 3.

$$x=\frac{1}{3}\left(2y+1\right)$$

I-multiply ang \frac{1}{3} times 2y+1.

$$x=\frac{2}{3}y+\frac{1}{3}$$

I-substitute ang \frac{2y+1}{3} para sa x sa kabilang equation na 3x-y=5.

$$3\left(\frac{2}{3}y+\frac{1}{3}\right)-y=5$$

I-multiply ang 3 times \frac{2y+1}{3}.

$$2y+1-y=5$$

Idagdag ang 2y sa -y.

$$y+1=5$$

I-subtract ang 1 mula sa magkabilang dulo ng equation.

$$y=4$$

I-substitute ang 4 para sa y sa x=\frac{2}{3}y+\frac{1}{3}. Dahil ang nagreresultang equation ay naglalaman lang ng isang variable, maaari mong i-solve ang x nang direkta.

$$x=\frac{2}{3}\times 4+\frac{1}{3}$$

I-multiply ang \frac{2}{3} times 4.

$$x=\frac{8+1}{3}$$

Idagdag ang \frac{1}{3} sa \frac{8}{3} sa pamamagitan ng paghahanap ng common denominator at pagdadagdag sa mga numerator. Pagkatapos ay ibawas ang fraction sa lowest terms nito kung posible.

$$x=3$$

Nalutas na ang system.

$$x=3,y=4$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Mga Matrix

Isaalang-alang ang unang equation. Ang variable y ay hindi katumbas ng -2 dahil hindi tukoy ang division by zero. Paramihin ang dalawang gilid ng equation nang 3\left(y+2\right), ang least common multiple ng y+2,3.

$$3\left(x+1\right)=2\left(y+2\right)$$

Gamitin ang distributive property para i-multiply ang 3 gamit ang x+1.

$$3x+3=2\left(y+2\right)$$

Gamitin ang distributive property para i-multiply ang 2 gamit ang y+2.

$$3x+3=2y+4$$

I-subtract ang 2y mula sa magkabilang dulo.

$$3x+3-2y=4$$

I-subtract ang 3 mula sa magkabilang dulo.

$$3x-2y=4-3$$

I-subtract ang 3 mula sa 4 para makuha ang 1.

$$3x-2y=1$$

Isaalang-alang ang pangalawang equation. Ang variable y ay hindi katumbas ng 1 dahil hindi tukoy ang division by zero. Paramihin ang dalawang gilid ng equation nang 3\left(y-1\right), ang least common multiple ng y-1,3.

$$3\left(x-2\right)=y-1$$

Gamitin ang distributive property para i-multiply ang 3 gamit ang x-2.

$$3x-6=y-1$$

I-subtract ang y mula sa magkabilang dulo.

$$3x-6-y=-1$$

Idagdag ang 6 sa parehong bahagi.

$$3x-y=-1+6$$

Idagdag ang -1 at 6 para makuha ang 5.

$$3x-y=5$$

Ilagay ang mga equation sa standard form at pagkatapos ay gumamit ng mga matrix para i-solve ang system ng mga equation.

$$3x-2y=1,3x-y=5$$

Isulat ang mga equation sa matrix form.

$$\left(\begin{matrix}3&-2\\3&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\5\end{matrix}\right)$$

I-multiply sa kaliwa ang equation sa pamamagitan ng inverse matrix ng \left(\begin{matrix}3&-2\\3&-1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&-2\\3&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&-2\\3&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-2\\3&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\5\end{matrix}\right)$$

Ang product ng isang matrix at ang inverse nito ay ang identity matrix.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-2\\3&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\5\end{matrix}\right)$$

I-multiply ang mga matrix sa kaliwang panig ng equal sign.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-2\\3&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\5\end{matrix}\right)$$

Para sa 2\times 2 na matrix \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), ang inverse matrix ay \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), kaya maaaring muling isulat ang equation ng matrix bilang problema sa multiplication ng matrix.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{3\left(-1\right)-\left(-2\times 3\right)}&-\frac{-2}{3\left(-1\right)-\left(-2\times 3\right)}\\-\frac{3}{3\left(-1\right)-\left(-2\times 3\right)}&\frac{3}{3\left(-1\right)-\left(-2\times 3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\5\end{matrix}\right)$$

Gumamit ka ng arithmetic.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{3}&\frac{2}{3}\\-1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\5\end{matrix}\right)$$

I-multiply ang mga matrix.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{3}+\frac{2}{3}\times 5\\-1+5\end{matrix}\right)$$

Gumamit ka ng arithmetic.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\4\end{matrix}\right)$$

I-extract ang mga matrix element na x at y.

$$x=3,y=4$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Elimination

Isaalang-alang ang unang equation. Ang variable y ay hindi katumbas ng -2 dahil hindi tukoy ang division by zero. Paramihin ang dalawang gilid ng equation nang 3\left(y+2\right), ang least common multiple ng y+2,3.

$$3\left(x+1\right)=2\left(y+2\right)$$

Gamitin ang distributive property para i-multiply ang 3 gamit ang x+1.

$$3x+3=2\left(y+2\right)$$

Gamitin ang distributive property para i-multiply ang 2 gamit ang y+2.

$$3x+3=2y+4$$

I-subtract ang 2y mula sa magkabilang dulo.

$$3x+3-2y=4$$

I-subtract ang 3 mula sa magkabilang dulo.

$$3x-2y=4-3$$

I-subtract ang 3 mula sa 4 para makuha ang 1.

$$3x-2y=1$$

Isaalang-alang ang pangalawang equation. Ang variable y ay hindi katumbas ng 1 dahil hindi tukoy ang division by zero. Paramihin ang dalawang gilid ng equation nang 3\left(y-1\right), ang least common multiple ng y-1,3.

$$3\left(x-2\right)=y-1$$

Gamitin ang distributive property para i-multiply ang 3 gamit ang x-2.

$$3x-6=y-1$$

I-subtract ang y mula sa magkabilang dulo.

$$3x-6-y=-1$$

Idagdag ang 6 sa parehong bahagi.

$$3x-y=-1+6$$

Idagdag ang -1 at 6 para makuha ang 5.

$$3x-y=5$$

Para mag-solve gamit ang elimination, ang mga coefficient ng isa sa mga variable ay dapat na magkatulad sa dalawang equation nang sa gayon ay magka-cancel out ang variable kapag na-substract ang equation sa kabila.

$$3x-2y=1,3x-y=5$$

I-subtract ang 3x-y=5 mula sa 3x-2y=1 sa pamamagitan ng pagsu-subtract ng mga katulad na term sa bawat dulo ng equal sign.

$$3x-3x-2y+y=1-5$$

Idagdag ang 3x sa -3x. Naka-cancel out ang term na 3x at -3x ang isa\'t isa, at mag-iiwan ito ng equation na may isang variable lang na maaaring lutasin.

$$-2y+y=1-5$$

Idagdag ang -2y sa y.

$$-y=1-5$$

Idagdag ang 1 sa -5.

$$-y=-4$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang -1.

$$y=4$$

I-substitute ang 4 para sa y sa 3x-y=5. Dahil ang nagreresultang equation ay naglalaman lang ng isang variable, maaari mong i-solve ang x nang direkta.

$$3x-4=5$$

Idagdag ang 4 sa magkabilang dulo ng equation.

$$3x=9$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang 3.

$$x=3$$

Nalutas na ang system.

$$x=3,y=4$$