Lutasin ang {l}{9x+4y/3-5x-11/2=13-y}{13x-7y=-8}

$$\left. \begin{array} { l } { \frac { 9 x + 4 y } { 3 } - \frac { 5 x - 11 } { 2 } = 13 - y } \\ { 13 x - 7 y = - 8 } \end{array} \right.$$

I-solve ang x, y

$$x=1$$

$$y=3$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Substitution

Isaalang-alang ang unang equation. Paramihin ang dalawang gilid ng equation nang 6, ang least common multiple ng 3,2.

$$2\left(9x+4y\right)-3\left(5x-11\right)=78-6y$$

Gamitin ang distributive property para i-multiply ang 2 gamit ang 9x+4y.

$$18x+8y-3\left(5x-11\right)=78-6y$$

Gamitin ang distributive property para i-multiply ang -3 gamit ang 5x-11.

$$18x+8y-15x+33=78-6y$$

Pagsamahin ang 18x at -15x para makuha ang 3x.

$$3x+8y+33=78-6y$$

Idagdag ang 6y sa parehong bahagi.

$$3x+8y+33+6y=78$$

Pagsamahin ang 8y at 6y para makuha ang 14y.

$$3x+14y+33=78$$

I-subtract ang 33 mula sa magkabilang dulo.

$$3x+14y=78-33$$

I-subtract ang 33 mula sa 78 para makuha ang 45.

$$3x+14y=45$$

Para mag-solve ng pares ng mga equation gamit ang substitution, i-solve muna ang isa sa mga equation para sa isa sa mga variable. Pagkatapos, i-substitute ang result para sa variable na iyon sa ibang equation.

$$3x+14y=45,13x-7y=-8$$

Pumili ng isa sa mga equation at lutasin ito para sa x sa pamamagitan ng pag-isolate sa x sa kaliwang bahagi ng equal sign.

$$3x+14y=45$$

I-subtract ang 14y mula sa magkabilang dulo ng equation.

$$3x=-14y+45$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang 3.

$$x=\frac{1}{3}\left(-14y+45\right)$$

I-multiply ang \frac{1}{3} times -14y+45.

$$x=-\frac{14}{3}y+15$$

I-substitute ang -\frac{14y}{3}+15 para sa x sa kabilang equation na 13x-7y=-8.

$$13\left(-\frac{14}{3}y+15\right)-7y=-8$$

I-multiply ang 13 times -\frac{14y}{3}+15.

$$-\frac{182}{3}y+195-7y=-8$$

Idagdag ang -\frac{182y}{3} sa -7y.

$$-\frac{203}{3}y+195=-8$$

I-subtract ang 195 mula sa magkabilang dulo ng equation.

$$-\frac{203}{3}y=-203$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang -\frac{203}{3}, na katumbas ng pagmu-multiply sa magkabilang dulo ng reciprocal ng fraction.

$$y=3$$

I-substitute ang 3 para sa y sa x=-\frac{14}{3}y+15. Dahil ang nagreresultang equation ay naglalaman lang ng isang variable, maaari mong i-solve ang x nang direkta.

$$x=-\frac{14}{3}\times 3+15$$

I-multiply ang -\frac{14}{3} times 3.

$$x=-14+15$$

Idagdag ang 15 sa -14.

$$x=1$$

Nalutas na ang system.

$$x=1,y=3$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Mga Matrix

Isaalang-alang ang unang equation. Paramihin ang dalawang gilid ng equation nang 6, ang least common multiple ng 3,2.

$$2\left(9x+4y\right)-3\left(5x-11\right)=78-6y$$

Gamitin ang distributive property para i-multiply ang 2 gamit ang 9x+4y.

$$18x+8y-3\left(5x-11\right)=78-6y$$

Gamitin ang distributive property para i-multiply ang -3 gamit ang 5x-11.

$$18x+8y-15x+33=78-6y$$

Pagsamahin ang 18x at -15x para makuha ang 3x.

$$3x+8y+33=78-6y$$

Idagdag ang 6y sa parehong bahagi.

$$3x+8y+33+6y=78$$

Pagsamahin ang 8y at 6y para makuha ang 14y.

$$3x+14y+33=78$$

I-subtract ang 33 mula sa magkabilang dulo.

$$3x+14y=78-33$$

I-subtract ang 33 mula sa 78 para makuha ang 45.

$$3x+14y=45$$

Ilagay ang mga equation sa standard form at pagkatapos ay gumamit ng mga matrix para i-solve ang system ng mga equation.

$$3x+14y=45,13x-7y=-8$$

Isulat ang mga equation sa matrix form.

$$\left(\begin{matrix}3&14\\13&-7\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}45\\-8\end{matrix}\right)$$

I-multiply sa kaliwa ang equation sa pamamagitan ng inverse matrix ng \left(\begin{matrix}3&14\\13&-7\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&14\\13&-7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&14\\13&-7\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&14\\13&-7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}45\\-8\end{matrix}\right)$$

Ang product ng isang matrix at ang inverse nito ay ang identity matrix.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&14\\13&-7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}45\\-8\end{matrix}\right)$$

I-multiply ang mga matrix sa kaliwang panig ng equal sign.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&14\\13&-7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}45\\-8\end{matrix}\right)$$

Para sa 2\times 2 na matrix \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), ang inverse matrix ay \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), kaya maaaring muling isulat ang equation ng matrix bilang problema sa multiplication ng matrix.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{7}{3\left(-7\right)-14\times 13}&-\frac{14}{3\left(-7\right)-14\times 13}\\-\frac{13}{3\left(-7\right)-14\times 13}&\frac{3}{3\left(-7\right)-14\times 13}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}45\\-8\end{matrix}\right)$$

Gumamit ka ng arithmetic.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{29}&\frac{2}{29}\\\frac{13}{203}&-\frac{3}{203}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}45\\-8\end{matrix}\right)$$

I-multiply ang mga matrix.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{29}\times 45+\frac{2}{29}\left(-8\right)\\\frac{13}{203}\times 45-\frac{3}{203}\left(-8\right)\end{matrix}\right)$$

Gumamit ka ng arithmetic.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\3\end{matrix}\right)$$

I-extract ang mga matrix element na x at y.

$$x=1,y=3$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Elimination

Isaalang-alang ang unang equation. Paramihin ang dalawang gilid ng equation nang 6, ang least common multiple ng 3,2.

$$2\left(9x+4y\right)-3\left(5x-11\right)=78-6y$$

Gamitin ang distributive property para i-multiply ang 2 gamit ang 9x+4y.

$$18x+8y-3\left(5x-11\right)=78-6y$$

Gamitin ang distributive property para i-multiply ang -3 gamit ang 5x-11.

$$18x+8y-15x+33=78-6y$$

Pagsamahin ang 18x at -15x para makuha ang 3x.

$$3x+8y+33=78-6y$$

Idagdag ang 6y sa parehong bahagi.

$$3x+8y+33+6y=78$$

Pagsamahin ang 8y at 6y para makuha ang 14y.

$$3x+14y+33=78$$

I-subtract ang 33 mula sa magkabilang dulo.

$$3x+14y=78-33$$

I-subtract ang 33 mula sa 78 para makuha ang 45.

$$3x+14y=45$$

Para mag-solve gamit ang elimination, ang mga coefficient ng isa sa mga variable ay dapat na magkatulad sa dalawang equation nang sa gayon ay magka-cancel out ang variable kapag na-substract ang equation sa kabila.

$$3x+14y=45,13x-7y=-8$$

Para gawing magkatumbas ang 3x at 13x, i-multiply ang lahat ng term sa magkabilang dulo ng unang equation gamit ang 13 at lahat ng term sa magkabilang dulo ng pangalawa gamit ang 3.

$$13\times 3x+13\times 14y=13\times 45,3\times 13x+3\left(-7\right)y=3\left(-8\right)$$

Pasimplehin.

$$39x+182y=585,39x-21y=-24$$

I-subtract ang 39x-21y=-24 mula sa 39x+182y=585 sa pamamagitan ng pagsu-subtract ng mga katulad na term sa bawat dulo ng equal sign.

$$39x-39x+182y+21y=585+24$$

Idagdag ang 39x sa -39x. Naka-cancel out ang term na 39x at -39x ang isa\'t isa, at mag-iiwan ito ng equation na may isang variable lang na maaaring lutasin.

$$182y+21y=585+24$$

Idagdag ang 182y sa 21y.

$$203y=585+24$$

Idagdag ang 585 sa 24.

$$203y=609$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang 203.

$$y=3$$

I-substitute ang 3 para sa y sa 13x-7y=-8. Dahil ang nagreresultang equation ay naglalaman lang ng isang variable, maaari mong i-solve ang x nang direkta.

$$13x-7\times 3=-8$$

I-multiply ang -7 times 3.

$$13x-21=-8$$

Idagdag ang 21 sa magkabilang dulo ng equation.

$$13x=13$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang 13.

$$x=1$$

Nalutas na ang system.

$$x=1,y=3$$