Lutasin ang {l}{2/3A+B=400}{A+4/5B=460}

$$\left. \begin{array} { l } { \frac { 2 } { 3 } A + B = 400 } \\ { A + \frac { 4 } { 5 } B = 460 } \end{array} \right.$$

I-solve ang A, B

$$A=300$$

$$B=200$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Substitution

Para mag-solve ng pares ng mga equation gamit ang substitution, i-solve muna ang isa sa mga equation para sa isa sa mga variable. Pagkatapos, i-substitute ang result para sa variable na iyon sa ibang equation.

$$\frac{2}{3}A+B=400,A+\frac{4}{5}B=460$$

Pumili ng isa sa mga equation at lutasin ito para sa A sa pamamagitan ng pag-isolate sa A sa kaliwang bahagi ng equal sign.

$$\frac{2}{3}A+B=400$$

I-subtract ang B mula sa magkabilang dulo ng equation.

$$\frac{2}{3}A=-B+400$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang \frac{2}{3}, na katumbas ng pagmu-multiply sa magkabilang dulo ng reciprocal ng fraction.

$$A=\frac{3}{2}\left(-B+400\right)$$

I-multiply ang \frac{3}{2} times -B+400.

$$A=-\frac{3}{2}B+600$$

I-substitute ang -\frac{3B}{2}+600 para sa A sa kabilang equation na A+\frac{4}{5}B=460.

$$-\frac{3}{2}B+600+\frac{4}{5}B=460$$

Idagdag ang -\frac{3B}{2} sa \frac{4B}{5}.

$$-\frac{7}{10}B+600=460$$

I-subtract ang 600 mula sa magkabilang dulo ng equation.

$$-\frac{7}{10}B=-140$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang -\frac{7}{10}, na katumbas ng pagmu-multiply sa magkabilang dulo ng reciprocal ng fraction.

$$B=200$$

I-substitute ang 200 para sa B sa A=-\frac{3}{2}B+600. Dahil ang nagreresultang equation ay naglalaman lang ng isang variable, maaari mong i-solve ang A nang direkta.

$$A=-\frac{3}{2}\times 200+600$$

I-multiply ang -\frac{3}{2} times 200.

$$A=-300+600$$

Idagdag ang 600 sa -300.

$$A=300$$

Nalutas na ang system.

$$A=300,B=200$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Mga Matrix

Ilagay ang mga equation sa standard form at pagkatapos ay gumamit ng mga matrix para i-solve ang system ng mga equation.

$$\frac{2}{3}A+B=400,A+\frac{4}{5}B=460$$

Isulat ang mga equation sa matrix form.

$$\left(\begin{matrix}\frac{2}{3}&1\\1&\frac{4}{5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}A\\B\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}400\\460\end{matrix}\right)$$

I-multiply sa kaliwa ang equation sa pamamagitan ng inverse matrix ng \left(\begin{matrix}\frac{2}{3}&1\\1&\frac{4}{5}\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}\frac{2}{3}&1\\1&\frac{4}{5}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}\frac{2}{3}&1\\1&\frac{4}{5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}A\\B\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}\frac{2}{3}&1\\1&\frac{4}{5}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}400\\460\end{matrix}\right)$$

Ang product ng isang matrix at ang inverse nito ay ang identity matrix.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}A\\B\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}\frac{2}{3}&1\\1&\frac{4}{5}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}400\\460\end{matrix}\right)$$

I-multiply ang mga matrix sa kaliwang panig ng equal sign.

$$\left(\begin{matrix}A\\B\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}\frac{2}{3}&1\\1&\frac{4}{5}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}400\\460\end{matrix}\right)$$

Para sa 2\times 2 na matrix \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), ang inverse matrix ay \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), kaya maaaring muling isulat ang equation ng matrix bilang problema sa multiplication ng matrix.

$$\left(\begin{matrix}A\\B\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{\frac{4}{5}}{\frac{2}{3}\times \frac{4}{5}-1}&-\frac{1}{\frac{2}{3}\times \frac{4}{5}-1}\\-\frac{1}{\frac{2}{3}\times \frac{4}{5}-1}&\frac{\frac{2}{3}}{\frac{2}{3}\times \frac{4}{5}-1}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}400\\460\end{matrix}\right)$$

Gumamit ka ng arithmetic.

$$\left(\begin{matrix}A\\B\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{12}{7}&\frac{15}{7}\\\frac{15}{7}&-\frac{10}{7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}400\\460\end{matrix}\right)$$

I-multiply ang mga matrix.

$$\left(\begin{matrix}A\\B\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{12}{7}\times 400+\frac{15}{7}\times 460\\\frac{15}{7}\times 400-\frac{10}{7}\times 460\end{matrix}\right)$$

Gumamit ka ng arithmetic.

$$\left(\begin{matrix}A\\B\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}300\\200\end{matrix}\right)$$

I-extract ang mga matrix element na A at B.

$$A=300,B=200$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Elimination

Para mag-solve gamit ang elimination, ang mga coefficient ng isa sa mga variable ay dapat na magkatulad sa dalawang equation nang sa gayon ay magka-cancel out ang variable kapag na-substract ang equation sa kabila.

$$\frac{2}{3}A+B=400,A+\frac{4}{5}B=460$$

Para gawing magkatumbas ang \frac{2A}{3} at A, i-multiply ang lahat ng term sa magkabilang dulo ng unang equation gamit ang 1 at lahat ng term sa magkabilang dulo ng pangalawa gamit ang \frac{2}{3}.

$$\frac{2}{3}A+B=400,\frac{2}{3}A+\frac{2}{3}\times \frac{4}{5}B=\frac{2}{3}\times 460$$

Pasimplehin.

$$\frac{2}{3}A+B=400,\frac{2}{3}A+\frac{8}{15}B=\frac{920}{3}$$

I-subtract ang \frac{2}{3}A+\frac{8}{15}B=\frac{920}{3} mula sa \frac{2}{3}A+B=400 sa pamamagitan ng pagsu-subtract ng mga katulad na term sa bawat dulo ng equal sign.

$$\frac{2}{3}A-\frac{2}{3}A+B-\frac{8}{15}B=400-\frac{920}{3}$$

Idagdag ang \frac{2A}{3} sa -\frac{2A}{3}. Naka-cancel out ang term na \frac{2A}{3} at -\frac{2A}{3} ang isa\'t isa, at mag-iiwan ito ng equation na may isang variable lang na maaaring lutasin.

$$B-\frac{8}{15}B=400-\frac{920}{3}$$

Idagdag ang B sa -\frac{8B}{15}.

$$\frac{7}{15}B=400-\frac{920}{3}$$

Idagdag ang 400 sa -\frac{920}{3}.

$$\frac{7}{15}B=\frac{280}{3}$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang \frac{7}{15}, na katumbas ng pagmu-multiply sa magkabilang dulo ng reciprocal ng fraction.

$$B=200$$

I-substitute ang 200 para sa B sa A+\frac{4}{5}B=460. Dahil ang nagreresultang equation ay naglalaman lang ng isang variable, maaari mong i-solve ang A nang direkta.

$$A+\frac{4}{5}\times 200=460$$

I-multiply ang \frac{4}{5} times 200.

$$A+160=460$$

I-subtract ang 160 mula sa magkabilang dulo ng equation.

$$A=300$$

Nalutas na ang system.

$$A=300,B=200$$