Lutasin ang {l}{108/100x+110y/100=1008}{110/100x+108/100y=1028}

$$\left. \begin{array} { l } { \frac { 108 } { 100 } x + \frac { 110 y } { 100 } = 1008 } \\ { \frac { 110 } { 100 } x + \frac { 108 } { 100 } y = 1028 } \end{array} \right.$$

I-solve ang x, y

$$x = \frac{105400}{109} = 966\frac{106}{109} \approx 966.972477064$$

$$y = -\frac{3600}{109} = -33\frac{3}{109} \approx -33.027522936$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Substitution

Isaalang-alang ang unang equation. I-multiply ang magkabilang dulo ng equation gamit ang 100.

$$108x+110y=100800$$

Isaalang-alang ang pangalawang equation. Bawasan ang fraction \frac{110}{100} sa pinakamabababang term sa pamamagitan ng pag-extract at pag-cancel out sa 10.

$$\frac{11}{10}x+\frac{108}{100}y=1028$$

Bawasan ang fraction \frac{108}{100} sa pinakamabababang term sa pamamagitan ng pag-extract at pag-cancel out sa 4.

$$\frac{11}{10}x+\frac{27}{25}y=1028$$

Para mag-solve ng pares ng mga equation gamit ang substitution, i-solve muna ang isa sa mga equation para sa isa sa mga variable. Pagkatapos, i-substitute ang result para sa variable na iyon sa ibang equation.

$$108x+110y=100800,\frac{11}{10}x+\frac{27}{25}y=1028$$

Pumili ng isa sa mga equation at lutasin ito para sa x sa pamamagitan ng pag-isolate sa x sa kaliwang bahagi ng equal sign.

$$108x+110y=100800$$

I-subtract ang 110y mula sa magkabilang dulo ng equation.

$$108x=-110y+100800$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang 108.

$$x=\frac{1}{108}\left(-110y+100800\right)$$

I-multiply ang \frac{1}{108} times -110y+100800.

$$x=-\frac{55}{54}y+\frac{2800}{3}$$

I-substitute ang -\frac{55y}{54}+\frac{2800}{3} para sa x sa kabilang equation na \frac{11}{10}x+\frac{27}{25}y=1028.

$$\frac{11}{10}\left(-\frac{55}{54}y+\frac{2800}{3}\right)+\frac{27}{25}y=1028$$

I-multiply ang \frac{11}{10} times -\frac{55y}{54}+\frac{2800}{3}.

$$-\frac{121}{108}y+\frac{3080}{3}+\frac{27}{25}y=1028$$

Idagdag ang -\frac{121y}{108} sa \frac{27y}{25}.

$$-\frac{109}{2700}y+\frac{3080}{3}=1028$$

I-subtract ang \frac{3080}{3} mula sa magkabilang dulo ng equation.

$$-\frac{109}{2700}y=\frac{4}{3}$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang -\frac{109}{2700}, na katumbas ng pagmu-multiply sa magkabilang dulo ng reciprocal ng fraction.

$$y=-\frac{3600}{109}$$

I-substitute ang -\frac{3600}{109} para sa y sa x=-\frac{55}{54}y+\frac{2800}{3}. Dahil ang nagreresultang equation ay naglalaman lang ng isang variable, maaari mong i-solve ang x nang direkta.

$$x=-\frac{55}{54}\left(-\frac{3600}{109}\right)+\frac{2800}{3}$$

I-multiply ang -\frac{55}{54} times -\frac{3600}{109} sa pamamagitan ng pagmu-multiply sa numerator times numerator at denominator times denominator. Pagkatapos, i-reduce ang fraction sa lowest terms nito kung posible.

$$x=\frac{11000}{327}+\frac{2800}{3}$$

Idagdag ang \frac{2800}{3} sa \frac{11000}{327} sa pamamagitan ng paghahanap ng common denominator at pagdadagdag sa mga numerator. Pagkatapos ay ibawas ang fraction sa lowest terms nito kung posible.

$$x=\frac{105400}{109}$$

Nalutas na ang system.

$$x=\frac{105400}{109},y=-\frac{3600}{109}$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Mga Matrix

Isaalang-alang ang unang equation. I-multiply ang magkabilang dulo ng equation gamit ang 100.

$$108x+110y=100800$$

Isaalang-alang ang pangalawang equation. Bawasan ang fraction \frac{110}{100} sa pinakamabababang term sa pamamagitan ng pag-extract at pag-cancel out sa 10.

$$\frac{11}{10}x+\frac{108}{100}y=1028$$

Bawasan ang fraction \frac{108}{100} sa pinakamabababang term sa pamamagitan ng pag-extract at pag-cancel out sa 4.

$$\frac{11}{10}x+\frac{27}{25}y=1028$$

Ilagay ang mga equation sa standard form at pagkatapos ay gumamit ng mga matrix para i-solve ang system ng mga equation.

$$108x+110y=100800,\frac{11}{10}x+\frac{27}{25}y=1028$$

Isulat ang mga equation sa matrix form.

$$\left(\begin{matrix}108&110\\\frac{11}{10}&\frac{27}{25}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}100800\\1028\end{matrix}\right)$$

I-multiply sa kaliwa ang equation sa pamamagitan ng inverse matrix ng \left(\begin{matrix}108&110\\\frac{11}{10}&\frac{27}{25}\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}108&110\\\frac{11}{10}&\frac{27}{25}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}108&110\\\frac{11}{10}&\frac{27}{25}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}108&110\\\frac{11}{10}&\frac{27}{25}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}100800\\1028\end{matrix}\right)$$

Ang product ng isang matrix at ang inverse nito ay ang identity matrix.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}108&110\\\frac{11}{10}&\frac{27}{25}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}100800\\1028\end{matrix}\right)$$

I-multiply ang mga matrix sa kaliwang panig ng equal sign.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}108&110\\\frac{11}{10}&\frac{27}{25}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}100800\\1028\end{matrix}\right)$$

Para sa 2\times 2 na matrix \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), ang inverse matrix ay \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), kaya maaaring muling isulat ang equation ng matrix bilang problema sa multiplication ng matrix.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{\frac{27}{25}}{108\times \frac{27}{25}-110\times \frac{11}{10}}&-\frac{110}{108\times \frac{27}{25}-110\times \frac{11}{10}}\\-\frac{\frac{11}{10}}{108\times \frac{27}{25}-110\times \frac{11}{10}}&\frac{108}{108\times \frac{27}{25}-110\times \frac{11}{10}}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}100800\\1028\end{matrix}\right)$$

Gumamit ka ng arithmetic.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{27}{109}&\frac{2750}{109}\\\frac{55}{218}&-\frac{2700}{109}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}100800\\1028\end{matrix}\right)$$

I-multiply ang mga matrix.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{27}{109}\times 100800+\frac{2750}{109}\times 1028\\\frac{55}{218}\times 100800-\frac{2700}{109}\times 1028\end{matrix}\right)$$

Gumamit ka ng arithmetic.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{105400}{109}\\-\frac{3600}{109}\end{matrix}\right)$$

I-extract ang mga matrix element na x at y.

$$x=\frac{105400}{109},y=-\frac{3600}{109}$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Elimination

Isaalang-alang ang unang equation. I-multiply ang magkabilang dulo ng equation gamit ang 100.

$$108x+110y=100800$$

Isaalang-alang ang pangalawang equation. Bawasan ang fraction \frac{110}{100} sa pinakamabababang term sa pamamagitan ng pag-extract at pag-cancel out sa 10.

$$\frac{11}{10}x+\frac{108}{100}y=1028$$

Bawasan ang fraction \frac{108}{100} sa pinakamabababang term sa pamamagitan ng pag-extract at pag-cancel out sa 4.

$$\frac{11}{10}x+\frac{27}{25}y=1028$$

Para mag-solve gamit ang elimination, ang mga coefficient ng isa sa mga variable ay dapat na magkatulad sa dalawang equation nang sa gayon ay magka-cancel out ang variable kapag na-substract ang equation sa kabila.

$$108x+110y=100800,\frac{11}{10}x+\frac{27}{25}y=1028$$

Para gawing magkatumbas ang 108x at \frac{11x}{10}, i-multiply ang lahat ng term sa magkabilang dulo ng unang equation gamit ang \frac{11}{10} at lahat ng term sa magkabilang dulo ng pangalawa gamit ang 108.

$$\frac{11}{10}\times 108x+\frac{11}{10}\times 110y=\frac{11}{10}\times 100800,108\times \frac{11}{10}x+108\times \frac{27}{25}y=108\times 1028$$

Pasimplehin.

$$\frac{594}{5}x+121y=110880,\frac{594}{5}x+\frac{2916}{25}y=111024$$

I-subtract ang \frac{594}{5}x+\frac{2916}{25}y=111024 mula sa \frac{594}{5}x+121y=110880 sa pamamagitan ng pagsu-subtract ng mga katulad na term sa bawat dulo ng equal sign.

$$\frac{594}{5}x-\frac{594}{5}x+121y-\frac{2916}{25}y=110880-111024$$

Idagdag ang \frac{594x}{5} sa -\frac{594x}{5}. Naka-cancel out ang term na \frac{594x}{5} at -\frac{594x}{5} ang isa\'t isa, at mag-iiwan ito ng equation na may isang variable lang na maaaring lutasin.

$$121y-\frac{2916}{25}y=110880-111024$$

Idagdag ang 121y sa -\frac{2916y}{25}.

$$\frac{109}{25}y=110880-111024$$

Idagdag ang 110880 sa -111024.

$$\frac{109}{25}y=-144$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang \frac{109}{25}, na katumbas ng pagmu-multiply sa magkabilang dulo ng reciprocal ng fraction.

$$y=-\frac{3600}{109}$$

I-substitute ang -\frac{3600}{109} para sa y sa \frac{11}{10}x+\frac{27}{25}y=1028. Dahil ang nagreresultang equation ay naglalaman lang ng isang variable, maaari mong i-solve ang x nang direkta.

$$\frac{11}{10}x+\frac{27}{25}\left(-\frac{3600}{109}\right)=1028$$

I-multiply ang \frac{27}{25} times -\frac{3600}{109} sa pamamagitan ng pagmu-multiply sa numerator times numerator at denominator times denominator. Pagkatapos, i-reduce ang fraction sa lowest terms nito kung posible.

$$\frac{11}{10}x-\frac{3888}{109}=1028$$

Idagdag ang \frac{3888}{109} sa magkabilang dulo ng equation.

$$\frac{11}{10}x=\frac{115940}{109}$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang \frac{11}{10}, na katumbas ng pagmu-multiply sa magkabilang dulo ng reciprocal ng fraction.

$$x=\frac{105400}{109}$$

Nalutas na ang system.

$$x=\frac{105400}{109},y=-\frac{3600}{109}$$