Lutasin ang {l}{1/5y-x=1/2text{op}}{1/3x-1/2y=10}

$$\left. \begin{array} { l } { \frac { 1 } { 5 } y - x = \frac { 1 } { 2 } \text { op } } \\ { \frac { 1 } { 3 } x - \frac { 1 } { 2 } y = 10 } \end{array} \right.$$

I-solve ang y, x

$$x = \frac{45}{2} = 22\frac{1}{2} = 22.5$$

$$y=115$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Substitution

Para mag-solve ng pares ng mga equation gamit ang substitution, i-solve muna ang isa sa mga equation para sa isa sa mga variable. Pagkatapos, i-substitute ang result para sa variable na iyon sa ibang equation.

$$\frac{1}{5}y-x=\frac{1}{2},-\frac{1}{2}y+3x=10$$

Pumili ng isa sa mga equation at lutasin ito para sa y sa pamamagitan ng pag-isolate sa y sa kaliwang bahagi ng equal sign.

$$\frac{1}{5}y-x=\frac{1}{2}$$

Idagdag ang x sa magkabilang dulo ng equation.

$$\frac{1}{5}y=x+\frac{1}{2}$$

I-multiply ang magkabilang dulo ng equation gamit ang 5.

$$y=5\left(x+\frac{1}{2}\right)$$

I-multiply ang 5 times x+\frac{1}{2}.

$$y=5x+\frac{5}{2}$$

I-substitute ang 5x+\frac{5}{2} para sa y sa kabilang equation na -\frac{1}{2}y+3x=10.

$$-\frac{1}{2}\left(5x+\frac{5}{2}\right)+3x=10$$

I-multiply ang -\frac{1}{2} times 5x+\frac{5}{2}.

$$-\frac{5}{2}x-\frac{5}{4}+3x=10$$

Idagdag ang -\frac{5x}{2} sa 3x.

$$\frac{1}{2}x-\frac{5}{4}=10$$

Idagdag ang \frac{5}{4} sa magkabilang dulo ng equation.

$$\frac{1}{2}x=\frac{45}{4}$$

I-multiply ang magkabilang dulo ng equation gamit ang 2.

$$x=\frac{45}{2}$$

I-substitute ang \frac{45}{2} para sa x sa y=5x+\frac{5}{2}. Dahil ang nagreresultang equation ay naglalaman lang ng isang variable, maaari mong i-solve ang y nang direkta.

$$y=5\times \frac{45}{2}+\frac{5}{2}$$

I-multiply ang 5 times \frac{45}{2}.

$$y=\frac{225+5}{2}$$

Idagdag ang \frac{5}{2} sa \frac{225}{2} sa pamamagitan ng paghahanap ng common denominator at pagdadagdag sa mga numerator. Pagkatapos ay ibawas ang fraction sa lowest terms nito kung posible.

$$y=115$$

Nalutas na ang system.

$$y=115,x=\frac{45}{2}$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Mga Matrix

Ilagay ang mga equation sa standard form at pagkatapos ay gumamit ng mga matrix para i-solve ang system ng mga equation.

$$\frac{1}{5}y-x=\frac{1}{2},-\frac{1}{2}y+3x=10$$

Isulat ang mga equation sa matrix form.

$$\left(\begin{matrix}\frac{1}{5}&-1\\-\frac{1}{2}&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}\\10\end{matrix}\right)$$

I-multiply sa kaliwa ang equation sa pamamagitan ng inverse matrix ng \left(\begin{matrix}\frac{1}{5}&-1\\-\frac{1}{2}&3\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}\frac{1}{5}&-1\\-\frac{1}{2}&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}\frac{1}{5}&-1\\-\frac{1}{2}&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}\frac{1}{5}&-1\\-\frac{1}{2}&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}\\10\end{matrix}\right)$$

Ang product ng isang matrix at ang inverse nito ay ang identity matrix.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}\frac{1}{5}&-1\\-\frac{1}{2}&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}\\10\end{matrix}\right)$$

I-multiply ang mga matrix sa kaliwang panig ng equal sign.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}\frac{1}{5}&-1\\-\frac{1}{2}&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}\\10\end{matrix}\right)$$

Para sa 2\times 2 na matrix \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), ang inverse matrix ay \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), kaya maaaring muling isulat ang equation ng matrix bilang problema sa multiplication ng matrix.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{\frac{1}{5}\times 3-\left(-\left(-\frac{1}{2}\right)\right)}&-\frac{-1}{\frac{1}{5}\times 3-\left(-\left(-\frac{1}{2}\right)\right)}\\-\frac{-\frac{1}{2}}{\frac{1}{5}\times 3-\left(-\left(-\frac{1}{2}\right)\right)}&\frac{\frac{1}{5}}{\frac{1}{5}\times 3-\left(-\left(-\frac{1}{2}\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}\\10\end{matrix}\right)$$

Gumamit ka ng arithmetic.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}30&10\\5&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}\\10\end{matrix}\right)$$

I-multiply ang mga matrix.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}30\times \frac{1}{2}+10\times 10\\5\times \frac{1}{2}+2\times 10\end{matrix}\right)$$

Gumamit ka ng arithmetic.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}115\\\frac{45}{2}\end{matrix}\right)$$

I-extract ang mga matrix element na y at x.

$$y=115,x=\frac{45}{2}$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Elimination

Para mag-solve gamit ang elimination, ang mga coefficient ng isa sa mga variable ay dapat na magkatulad sa dalawang equation nang sa gayon ay magka-cancel out ang variable kapag na-substract ang equation sa kabila.

$$\frac{1}{5}y-x=\frac{1}{2},-\frac{1}{2}y+3x=10$$

Para gawing magkatumbas ang \frac{y}{5} at -\frac{y}{2}, i-multiply ang lahat ng term sa magkabilang dulo ng unang equation gamit ang -\frac{1}{2} at lahat ng term sa magkabilang dulo ng pangalawa gamit ang \frac{1}{5}.

$$-\frac{1}{2}\times \frac{1}{5}y-\frac{1}{2}\left(-1\right)x=-\frac{1}{2}\times \frac{1}{2},\frac{1}{5}\left(-\frac{1}{2}\right)y+\frac{1}{5}\times 3x=\frac{1}{5}\times 10$$

Pasimplehin.

$$-\frac{1}{10}y+\frac{1}{2}x=-\frac{1}{4},-\frac{1}{10}y+\frac{3}{5}x=2$$

I-subtract ang -\frac{1}{10}y+\frac{3}{5}x=2 mula sa -\frac{1}{10}y+\frac{1}{2}x=-\frac{1}{4} sa pamamagitan ng pagsu-subtract ng mga katulad na term sa bawat dulo ng equal sign.

$$-\frac{1}{10}y+\frac{1}{10}y+\frac{1}{2}x-\frac{3}{5}x=-\frac{1}{4}-2$$

Idagdag ang -\frac{y}{10} sa \frac{y}{10}. Naka-cancel out ang term na -\frac{y}{10} at \frac{y}{10} ang isa\'t isa, at mag-iiwan ito ng equation na may isang variable lang na maaaring lutasin.

$$\frac{1}{2}x-\frac{3}{5}x=-\frac{1}{4}-2$$

Idagdag ang \frac{x}{2} sa -\frac{3x}{5}.

$$-\frac{1}{10}x=-\frac{1}{4}-2$$

Idagdag ang -\frac{1}{4} sa -2.

$$-\frac{1}{10}x=-\frac{9}{4}$$

I-multiply ang magkabilang dulo ng equation gamit ang -10.

$$x=\frac{45}{2}$$

I-substitute ang \frac{45}{2} para sa x sa -\frac{1}{2}y+3x=10. Dahil ang nagreresultang equation ay naglalaman lang ng isang variable, maaari mong i-solve ang y nang direkta.

$$-\frac{1}{2}y+3\times \frac{45}{2}=10$$

I-multiply ang 3 times \frac{45}{2}.

$$-\frac{1}{2}y+\frac{135}{2}=10$$

I-subtract ang \frac{135}{2} mula sa magkabilang dulo ng equation.

$$-\frac{1}{2}y=-\frac{115}{2}$$

I-multiply ang magkabilang dulo ng equation gamit ang -2.

$$y=115$$

Nalutas na ang system.

$$y=115,x=\frac{45}{2}$$