Lutasin ang {l}{1/4x+1/2y=-6}{-1/3x+1/6y=5}

$$\left. \begin{array} { l } { \frac { 1 } { 4 } x + \frac { 1 } { 2 } y = - 6 } \\ { - \frac { 1 } { 3 } x + \frac { 1 } { 6 } y = 5 } \end{array} \right.$$

I-solve ang x, y

$$x = -\frac{84}{5} = -16\frac{4}{5} = -16.8$$

$$y = -\frac{18}{5} = -3\frac{3}{5} = -3.6$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Substitution

Para mag-solve ng pares ng mga equation gamit ang substitution, i-solve muna ang isa sa mga equation para sa isa sa mga variable. Pagkatapos, i-substitute ang result para sa variable na iyon sa ibang equation.

$$\frac{1}{4}x+\frac{1}{2}y=-6,-\frac{1}{3}x+\frac{1}{6}y=5$$

Pumili ng isa sa mga equation at lutasin ito para sa x sa pamamagitan ng pag-isolate sa x sa kaliwang bahagi ng equal sign.

$$\frac{1}{4}x+\frac{1}{2}y=-6$$

I-subtract ang \frac{y}{2} mula sa magkabilang dulo ng equation.

$$\frac{1}{4}x=-\frac{1}{2}y-6$$

I-multiply ang magkabilang dulo ng equation gamit ang 4.

$$x=4\left(-\frac{1}{2}y-6\right)$$

I-multiply ang 4 times -\frac{y}{2}-6.

$$x=-2y-24$$

I-substitute ang -2y-24 para sa x sa kabilang equation na -\frac{1}{3}x+\frac{1}{6}y=5.

$$-\frac{1}{3}\left(-2y-24\right)+\frac{1}{6}y=5$$

I-multiply ang -\frac{1}{3} times -2y-24.

$$\frac{2}{3}y+8+\frac{1}{6}y=5$$

Idagdag ang \frac{2y}{3} sa \frac{y}{6}.

$$\frac{5}{6}y+8=5$$

I-subtract ang 8 mula sa magkabilang dulo ng equation.

$$\frac{5}{6}y=-3$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang \frac{5}{6}, na katumbas ng pagmu-multiply sa magkabilang dulo ng reciprocal ng fraction.

$$y=-\frac{18}{5}$$

I-substitute ang -\frac{18}{5} para sa y sa x=-2y-24. Dahil ang nagreresultang equation ay naglalaman lang ng isang variable, maaari mong i-solve ang x nang direkta.

$$x=-2\left(-\frac{18}{5}\right)-24$$

I-multiply ang -2 times -\frac{18}{5}.

$$x=\frac{36}{5}-24$$

Idagdag ang -24 sa \frac{36}{5}.

$$x=-\frac{84}{5}$$

Nalutas na ang system.

$$x=-\frac{84}{5},y=-\frac{18}{5}$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Mga Matrix

Ilagay ang mga equation sa standard form at pagkatapos ay gumamit ng mga matrix para i-solve ang system ng mga equation.

$$\frac{1}{4}x+\frac{1}{2}y=-6,-\frac{1}{3}x+\frac{1}{6}y=5$$

Isulat ang mga equation sa matrix form.

$$\left(\begin{matrix}\frac{1}{4}&\frac{1}{2}\\-\frac{1}{3}&\frac{1}{6}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-6\\5\end{matrix}\right)$$

I-multiply sa kaliwa ang equation sa pamamagitan ng inverse matrix ng \left(\begin{matrix}\frac{1}{4}&\frac{1}{2}\\-\frac{1}{3}&\frac{1}{6}\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}\frac{1}{4}&\frac{1}{2}\\-\frac{1}{3}&\frac{1}{6}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}\frac{1}{4}&\frac{1}{2}\\-\frac{1}{3}&\frac{1}{6}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}\frac{1}{4}&\frac{1}{2}\\-\frac{1}{3}&\frac{1}{6}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-6\\5\end{matrix}\right)$$

Ang product ng isang matrix at ang inverse nito ay ang identity matrix.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}\frac{1}{4}&\frac{1}{2}\\-\frac{1}{3}&\frac{1}{6}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-6\\5\end{matrix}\right)$$

I-multiply ang mga matrix sa kaliwang panig ng equal sign.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}\frac{1}{4}&\frac{1}{2}\\-\frac{1}{3}&\frac{1}{6}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-6\\5\end{matrix}\right)$$

Para sa 2\times 2 na matrix \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), ang inverse matrix ay \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), kaya maaaring muling isulat ang equation ng matrix bilang problema sa multiplication ng matrix.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{\frac{1}{6}}{\frac{1}{4}\times \frac{1}{6}-\frac{1}{2}\left(-\frac{1}{3}\right)}&-\frac{\frac{1}{2}}{\frac{1}{4}\times \frac{1}{6}-\frac{1}{2}\left(-\frac{1}{3}\right)}\\-\frac{-\frac{1}{3}}{\frac{1}{4}\times \frac{1}{6}-\frac{1}{2}\left(-\frac{1}{3}\right)}&\frac{\frac{1}{4}}{\frac{1}{4}\times \frac{1}{6}-\frac{1}{2}\left(-\frac{1}{3}\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-6\\5\end{matrix}\right)$$

Gumamit ka ng arithmetic.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{5}&-\frac{12}{5}\\\frac{8}{5}&\frac{6}{5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-6\\5\end{matrix}\right)$$

I-multiply ang mga matrix.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{5}\left(-6\right)-\frac{12}{5}\times 5\\\frac{8}{5}\left(-6\right)+\frac{6}{5}\times 5\end{matrix}\right)$$

Gumamit ka ng arithmetic.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{84}{5}\\-\frac{18}{5}\end{matrix}\right)$$

I-extract ang mga matrix element na x at y.

$$x=-\frac{84}{5},y=-\frac{18}{5}$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Elimination

Para mag-solve gamit ang elimination, ang mga coefficient ng isa sa mga variable ay dapat na magkatulad sa dalawang equation nang sa gayon ay magka-cancel out ang variable kapag na-substract ang equation sa kabila.

$$\frac{1}{4}x+\frac{1}{2}y=-6,-\frac{1}{3}x+\frac{1}{6}y=5$$

Para gawing magkatumbas ang \frac{x}{4} at -\frac{x}{3}, i-multiply ang lahat ng term sa magkabilang dulo ng unang equation gamit ang -\frac{1}{3} at lahat ng term sa magkabilang dulo ng pangalawa gamit ang \frac{1}{4}.

$$-\frac{1}{3}\times \frac{1}{4}x-\frac{1}{3}\times \frac{1}{2}y=-\frac{1}{3}\left(-6\right),\frac{1}{4}\left(-\frac{1}{3}\right)x+\frac{1}{4}\times \frac{1}{6}y=\frac{1}{4}\times 5$$

Pasimplehin.

$$-\frac{1}{12}x-\frac{1}{6}y=2,-\frac{1}{12}x+\frac{1}{24}y=\frac{5}{4}$$

I-subtract ang -\frac{1}{12}x+\frac{1}{24}y=\frac{5}{4} mula sa -\frac{1}{12}x-\frac{1}{6}y=2 sa pamamagitan ng pagsu-subtract ng mga katulad na term sa bawat dulo ng equal sign.

$$-\frac{1}{12}x+\frac{1}{12}x-\frac{1}{6}y-\frac{1}{24}y=2-\frac{5}{4}$$

Idagdag ang -\frac{x}{12} sa \frac{x}{12}. Naka-cancel out ang term na -\frac{x}{12} at \frac{x}{12} ang isa\'t isa, at mag-iiwan ito ng equation na may isang variable lang na maaaring lutasin.

$$-\frac{1}{6}y-\frac{1}{24}y=2-\frac{5}{4}$$

Idagdag ang -\frac{y}{6} sa -\frac{y}{24}.

$$-\frac{5}{24}y=2-\frac{5}{4}$$

Idagdag ang 2 sa -\frac{5}{4}.

$$-\frac{5}{24}y=\frac{3}{4}$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang -\frac{5}{24}, na katumbas ng pagmu-multiply sa magkabilang dulo ng reciprocal ng fraction.

$$y=-\frac{18}{5}$$

I-substitute ang -\frac{18}{5} para sa y sa -\frac{1}{3}x+\frac{1}{6}y=5. Dahil ang nagreresultang equation ay naglalaman lang ng isang variable, maaari mong i-solve ang x nang direkta.

$$-\frac{1}{3}x+\frac{1}{6}\left(-\frac{18}{5}\right)=5$$

I-multiply ang \frac{1}{6} times -\frac{18}{5} sa pamamagitan ng pagmu-multiply sa numerator times numerator at denominator times denominator. Pagkatapos, i-reduce ang fraction sa lowest terms nito kung posible.

$$-\frac{1}{3}x-\frac{3}{5}=5$$

Idagdag ang \frac{3}{5} sa magkabilang dulo ng equation.

$$-\frac{1}{3}x=\frac{28}{5}$$

I-multiply ang magkabilang dulo ng equation gamit ang -3.

$$x=-\frac{84}{5}$$

Nalutas na ang system.

$$x=-\frac{84}{5},y=-\frac{18}{5}$$