Lutasin ang {l}{1/2x-1+2y/12=2x-5y/3-7/4}{frac{1}{5}x+frac{2}{7}y=-frac{3}{35}}

$$\left. \begin{array} { l } { \frac { 1 } { 2 } x - \frac { 1 + 2 y } { 12 } = \frac { 2 x - 5 y } { 3 } - \frac { 7 } { 4 } } \\ { \frac { 1 } { 5 } x + \frac { 2 } { 7 } y = - \frac { 3 } { 35 } } \end{array} \right.$$

I-solve ang x, y

$$x=1$$

$$y=-1$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Substitution

Isaalang-alang ang unang equation. Paramihin ang dalawang gilid ng equation nang 12, ang least common multiple ng 2,12,3,4.

$$6x-\left(1+2y\right)=4\left(2x-5y\right)-21$$

Para hanapin ang kabaligtaran ng 1+2y, hanapin ang kabaligtaran ng bawat term.

$$6x-1-2y=4\left(2x-5y\right)-21$$

Gamitin ang distributive property para i-multiply ang 4 gamit ang 2x-5y.

$$6x-1-2y=8x-20y-21$$

I-subtract ang 8x mula sa magkabilang dulo.

$$6x-1-2y-8x=-20y-21$$

Pagsamahin ang 6x at -8x para makuha ang -2x.

$$-2x-1-2y=-20y-21$$

Idagdag ang 20y sa parehong bahagi.

$$-2x-1-2y+20y=-21$$

Pagsamahin ang -2y at 20y para makuha ang 18y.

$$-2x-1+18y=-21$$

Idagdag ang 1 sa parehong bahagi.

$$-2x+18y=-21+1$$

Idagdag ang -21 at 1 para makuha ang -20.

$$-2x+18y=-20$$

Para mag-solve ng pares ng mga equation gamit ang substitution, i-solve muna ang isa sa mga equation para sa isa sa mga variable. Pagkatapos, i-substitute ang result para sa variable na iyon sa ibang equation.

$$-2x+18y=-20,\frac{1}{5}x+\frac{2}{7}y=-\frac{3}{35}$$

Pumili ng isa sa mga equation at lutasin ito para sa x sa pamamagitan ng pag-isolate sa x sa kaliwang bahagi ng equal sign.

$$-2x+18y=-20$$

I-subtract ang 18y mula sa magkabilang dulo ng equation.

$$-2x=-18y-20$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang -2.

$$x=-\frac{1}{2}\left(-18y-20\right)$$

I-multiply ang -\frac{1}{2} times -18y-20.

$$x=9y+10$$

I-substitute ang 9y+10 para sa x sa kabilang equation na \frac{1}{5}x+\frac{2}{7}y=-\frac{3}{35}.

$$\frac{1}{5}\left(9y+10\right)+\frac{2}{7}y=-\frac{3}{35}$$

I-multiply ang \frac{1}{5} times 9y+10.

$$\frac{9}{5}y+2+\frac{2}{7}y=-\frac{3}{35}$$

Idagdag ang \frac{9y}{5} sa \frac{2y}{7}.

$$\frac{73}{35}y+2=-\frac{3}{35}$$

I-subtract ang 2 mula sa magkabilang dulo ng equation.

$$\frac{73}{35}y=-\frac{73}{35}$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang \frac{73}{35}, na katumbas ng pagmu-multiply sa magkabilang dulo ng reciprocal ng fraction.

$$y=-1$$

I-substitute ang -1 para sa y sa x=9y+10. Dahil ang nagreresultang equation ay naglalaman lang ng isang variable, maaari mong i-solve ang x nang direkta.

$$x=9\left(-1\right)+10$$

I-multiply ang 9 times -1.

$$x=-9+10$$

Idagdag ang 10 sa -9.

$$x=1$$

Nalutas na ang system.

$$x=1,y=-1$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Mga Matrix

Isaalang-alang ang unang equation. Paramihin ang dalawang gilid ng equation nang 12, ang least common multiple ng 2,12,3,4.

$$6x-\left(1+2y\right)=4\left(2x-5y\right)-21$$

Para hanapin ang kabaligtaran ng 1+2y, hanapin ang kabaligtaran ng bawat term.

$$6x-1-2y=4\left(2x-5y\right)-21$$

Gamitin ang distributive property para i-multiply ang 4 gamit ang 2x-5y.

$$6x-1-2y=8x-20y-21$$

I-subtract ang 8x mula sa magkabilang dulo.

$$6x-1-2y-8x=-20y-21$$

Pagsamahin ang 6x at -8x para makuha ang -2x.

$$-2x-1-2y=-20y-21$$

Idagdag ang 20y sa parehong bahagi.

$$-2x-1-2y+20y=-21$$

Pagsamahin ang -2y at 20y para makuha ang 18y.

$$-2x-1+18y=-21$$

Idagdag ang 1 sa parehong bahagi.

$$-2x+18y=-21+1$$

Idagdag ang -21 at 1 para makuha ang -20.

$$-2x+18y=-20$$

Ilagay ang mga equation sa standard form at pagkatapos ay gumamit ng mga matrix para i-solve ang system ng mga equation.

$$-2x+18y=-20,\frac{1}{5}x+\frac{2}{7}y=-\frac{3}{35}$$

Isulat ang mga equation sa matrix form.

$$\left(\begin{matrix}-2&18\\\frac{1}{5}&\frac{2}{7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-20\\-\frac{3}{35}\end{matrix}\right)$$

I-multiply sa kaliwa ang equation sa pamamagitan ng inverse matrix ng \left(\begin{matrix}-2&18\\\frac{1}{5}&\frac{2}{7}\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}-2&18\\\frac{1}{5}&\frac{2}{7}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-2&18\\\frac{1}{5}&\frac{2}{7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-2&18\\\frac{1}{5}&\frac{2}{7}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-20\\-\frac{3}{35}\end{matrix}\right)$$

Ang product ng isang matrix at ang inverse nito ay ang identity matrix.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-2&18\\\frac{1}{5}&\frac{2}{7}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-20\\-\frac{3}{35}\end{matrix}\right)$$

I-multiply ang mga matrix sa kaliwang panig ng equal sign.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-2&18\\\frac{1}{5}&\frac{2}{7}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-20\\-\frac{3}{35}\end{matrix}\right)$$

Para sa 2\times 2 na matrix \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), ang inverse matrix ay \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), kaya maaaring muling isulat ang equation ng matrix bilang problema sa multiplication ng matrix.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{\frac{2}{7}}{-2\times \frac{2}{7}-18\times \frac{1}{5}}&-\frac{18}{-2\times \frac{2}{7}-18\times \frac{1}{5}}\\-\frac{\frac{1}{5}}{-2\times \frac{2}{7}-18\times \frac{1}{5}}&-\frac{2}{-2\times \frac{2}{7}-18\times \frac{1}{5}}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-20\\-\frac{3}{35}\end{matrix}\right)$$

Gumamit ka ng arithmetic.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{5}{73}&\frac{315}{73}\\\frac{7}{146}&\frac{35}{73}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-20\\-\frac{3}{35}\end{matrix}\right)$$

I-multiply ang mga matrix.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{5}{73}\left(-20\right)+\frac{315}{73}\left(-\frac{3}{35}\right)\\\frac{7}{146}\left(-20\right)+\frac{35}{73}\left(-\frac{3}{35}\right)\end{matrix}\right)$$

Gumamit ka ng arithmetic.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\-1\end{matrix}\right)$$

I-extract ang mga matrix element na x at y.

$$x=1,y=-1$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Elimination

Isaalang-alang ang unang equation. Paramihin ang dalawang gilid ng equation nang 12, ang least common multiple ng 2,12,3,4.

$$6x-\left(1+2y\right)=4\left(2x-5y\right)-21$$

Para hanapin ang kabaligtaran ng 1+2y, hanapin ang kabaligtaran ng bawat term.

$$6x-1-2y=4\left(2x-5y\right)-21$$

Gamitin ang distributive property para i-multiply ang 4 gamit ang 2x-5y.

$$6x-1-2y=8x-20y-21$$

I-subtract ang 8x mula sa magkabilang dulo.

$$6x-1-2y-8x=-20y-21$$

Pagsamahin ang 6x at -8x para makuha ang -2x.

$$-2x-1-2y=-20y-21$$

Idagdag ang 20y sa parehong bahagi.

$$-2x-1-2y+20y=-21$$

Pagsamahin ang -2y at 20y para makuha ang 18y.

$$-2x-1+18y=-21$$

Idagdag ang 1 sa parehong bahagi.

$$-2x+18y=-21+1$$

Idagdag ang -21 at 1 para makuha ang -20.

$$-2x+18y=-20$$

Para mag-solve gamit ang elimination, ang mga coefficient ng isa sa mga variable ay dapat na magkatulad sa dalawang equation nang sa gayon ay magka-cancel out ang variable kapag na-substract ang equation sa kabila.

$$-2x+18y=-20,\frac{1}{5}x+\frac{2}{7}y=-\frac{3}{35}$$

Para gawing magkatumbas ang -2x at \frac{x}{5}, i-multiply ang lahat ng term sa magkabilang dulo ng unang equation gamit ang \frac{1}{5} at lahat ng term sa magkabilang dulo ng pangalawa gamit ang -2.

$$\frac{1}{5}\left(-2\right)x+\frac{1}{5}\times 18y=\frac{1}{5}\left(-20\right),-2\times \frac{1}{5}x-2\times \frac{2}{7}y=-2\left(-\frac{3}{35}\right)$$

Pasimplehin.

$$-\frac{2}{5}x+\frac{18}{5}y=-4,-\frac{2}{5}x-\frac{4}{7}y=\frac{6}{35}$$

I-subtract ang -\frac{2}{5}x-\frac{4}{7}y=\frac{6}{35} mula sa -\frac{2}{5}x+\frac{18}{5}y=-4 sa pamamagitan ng pagsu-subtract ng mga katulad na term sa bawat dulo ng equal sign.

$$-\frac{2}{5}x+\frac{2}{5}x+\frac{18}{5}y+\frac{4}{7}y=-4-\frac{6}{35}$$

Idagdag ang -\frac{2x}{5} sa \frac{2x}{5}. Naka-cancel out ang term na -\frac{2x}{5} at \frac{2x}{5} ang isa\'t isa, at mag-iiwan ito ng equation na may isang variable lang na maaaring lutasin.

$$\frac{18}{5}y+\frac{4}{7}y=-4-\frac{6}{35}$$

Idagdag ang \frac{18y}{5} sa \frac{4y}{7}.

$$\frac{146}{35}y=-4-\frac{6}{35}$$

Idagdag ang -4 sa -\frac{6}{35}.

$$\frac{146}{35}y=-\frac{146}{35}$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang \frac{146}{35}, na katumbas ng pagmu-multiply sa magkabilang dulo ng reciprocal ng fraction.

$$y=-1$$

I-substitute ang -1 para sa y sa \frac{1}{5}x+\frac{2}{7}y=-\frac{3}{35}. Dahil ang nagreresultang equation ay naglalaman lang ng isang variable, maaari mong i-solve ang x nang direkta.

$$\frac{1}{5}x+\frac{2}{7}\left(-1\right)=-\frac{3}{35}$$

I-multiply ang \frac{2}{7} times -1.

$$\frac{1}{5}x-\frac{2}{7}=-\frac{3}{35}$$

Idagdag ang \frac{2}{7} sa magkabilang dulo ng equation.

$$\frac{1}{5}x=\frac{1}{5}$$

I-multiply ang magkabilang dulo ng equation gamit ang 5.

$$x=1$$

Nalutas na ang system.

$$x=1,y=-1$$