Lutasin ang {l}{1/2x+1/3y=13}{1/3x+1/8y=5}

$$\left. \begin{array} { l } { \frac { 1 } { 2 } x + \frac { 1 } { 3 } y = 13 } \\ { \frac { 1 } { 3 } x + \frac { 1 } { 8 } y = 5 } \end{array} \right.$$

I-solve ang x, y

$$x=\frac{6}{7}\approx 0.857142857$$

$$y = \frac{264}{7} = 37\frac{5}{7} \approx 37.714285714$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Substitution

Para mag-solve ng pares ng mga equation gamit ang substitution, i-solve muna ang isa sa mga equation para sa isa sa mga variable. Pagkatapos, i-substitute ang result para sa variable na iyon sa ibang equation.

$$\frac{1}{2}x+\frac{1}{3}y=13,\frac{1}{3}x+\frac{1}{8}y=5$$

Pumili ng isa sa mga equation at lutasin ito para sa x sa pamamagitan ng pag-isolate sa x sa kaliwang bahagi ng equal sign.

$$\frac{1}{2}x+\frac{1}{3}y=13$$

I-subtract ang \frac{y}{3} mula sa magkabilang dulo ng equation.

$$\frac{1}{2}x=-\frac{1}{3}y+13$$

I-multiply ang magkabilang dulo ng equation gamit ang 2.

$$x=2\left(-\frac{1}{3}y+13\right)$$

I-multiply ang 2 times -\frac{y}{3}+13.

$$x=-\frac{2}{3}y+26$$

I-substitute ang -\frac{2y}{3}+26 para sa x sa kabilang equation na \frac{1}{3}x+\frac{1}{8}y=5.

$$\frac{1}{3}\left(-\frac{2}{3}y+26\right)+\frac{1}{8}y=5$$

I-multiply ang \frac{1}{3} times -\frac{2y}{3}+26.

$$-\frac{2}{9}y+\frac{26}{3}+\frac{1}{8}y=5$$

Idagdag ang -\frac{2y}{9} sa \frac{y}{8}.

$$-\frac{7}{72}y+\frac{26}{3}=5$$

I-subtract ang \frac{26}{3} mula sa magkabilang dulo ng equation.

$$-\frac{7}{72}y=-\frac{11}{3}$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang -\frac{7}{72}, na katumbas ng pagmu-multiply sa magkabilang dulo ng reciprocal ng fraction.

$$y=\frac{264}{7}$$

I-substitute ang \frac{264}{7} para sa y sa x=-\frac{2}{3}y+26. Dahil ang nagreresultang equation ay naglalaman lang ng isang variable, maaari mong i-solve ang x nang direkta.

$$x=-\frac{2}{3}\times \frac{264}{7}+26$$

I-multiply ang -\frac{2}{3} times \frac{264}{7} sa pamamagitan ng pagmu-multiply sa numerator times numerator at denominator times denominator. Pagkatapos, i-reduce ang fraction sa lowest terms nito kung posible.

$$x=-\frac{176}{7}+26$$

Idagdag ang 26 sa -\frac{176}{7}.

$$x=\frac{6}{7}$$

Nalutas na ang system.

$$x=\frac{6}{7},y=\frac{264}{7}$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Mga Matrix

Ilagay ang mga equation sa standard form at pagkatapos ay gumamit ng mga matrix para i-solve ang system ng mga equation.

$$\frac{1}{2}x+\frac{1}{3}y=13,\frac{1}{3}x+\frac{1}{8}y=5$$

Isulat ang mga equation sa matrix form.

$$\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}&\frac{1}{3}\\\frac{1}{3}&\frac{1}{8}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}13\\5\end{matrix}\right)$$

I-multiply sa kaliwa ang equation sa pamamagitan ng inverse matrix ng \left(\begin{matrix}\frac{1}{2}&\frac{1}{3}\\\frac{1}{3}&\frac{1}{8}\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}&\frac{1}{3}\\\frac{1}{3}&\frac{1}{8}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}&\frac{1}{3}\\\frac{1}{3}&\frac{1}{8}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}&\frac{1}{3}\\\frac{1}{3}&\frac{1}{8}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}13\\5\end{matrix}\right)$$

Ang product ng isang matrix at ang inverse nito ay ang identity matrix.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}&\frac{1}{3}\\\frac{1}{3}&\frac{1}{8}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}13\\5\end{matrix}\right)$$

I-multiply ang mga matrix sa kaliwang panig ng equal sign.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}&\frac{1}{3}\\\frac{1}{3}&\frac{1}{8}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}13\\5\end{matrix}\right)$$

Para sa 2\times 2 na matrix \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), ang inverse matrix ay \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), kaya maaaring muling isulat ang equation ng matrix bilang problema sa multiplication ng matrix.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{\frac{1}{8}}{\frac{1}{2}\times \frac{1}{8}-\frac{1}{3}\times \frac{1}{3}}&-\frac{\frac{1}{3}}{\frac{1}{2}\times \frac{1}{8}-\frac{1}{3}\times \frac{1}{3}}\\-\frac{\frac{1}{3}}{\frac{1}{2}\times \frac{1}{8}-\frac{1}{3}\times \frac{1}{3}}&\frac{\frac{1}{2}}{\frac{1}{2}\times \frac{1}{8}-\frac{1}{3}\times \frac{1}{3}}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}13\\5\end{matrix}\right)$$

Gumamit ka ng arithmetic.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{18}{7}&\frac{48}{7}\\\frac{48}{7}&-\frac{72}{7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}13\\5\end{matrix}\right)$$

I-multiply ang mga matrix.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{18}{7}\times 13+\frac{48}{7}\times 5\\\frac{48}{7}\times 13-\frac{72}{7}\times 5\end{matrix}\right)$$

Gumamit ka ng arithmetic.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{6}{7}\\\frac{264}{7}\end{matrix}\right)$$

I-extract ang mga matrix element na x at y.

$$x=\frac{6}{7},y=\frac{264}{7}$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Elimination

Para mag-solve gamit ang elimination, ang mga coefficient ng isa sa mga variable ay dapat na magkatulad sa dalawang equation nang sa gayon ay magka-cancel out ang variable kapag na-substract ang equation sa kabila.

$$\frac{1}{2}x+\frac{1}{3}y=13,\frac{1}{3}x+\frac{1}{8}y=5$$

Para gawing magkatumbas ang \frac{x}{2} at \frac{x}{3}, i-multiply ang lahat ng term sa magkabilang dulo ng unang equation gamit ang \frac{1}{3} at lahat ng term sa magkabilang dulo ng pangalawa gamit ang \frac{1}{2}.

$$\frac{1}{3}\times \frac{1}{2}x+\frac{1}{3}\times \frac{1}{3}y=\frac{1}{3}\times 13,\frac{1}{2}\times \frac{1}{3}x+\frac{1}{2}\times \frac{1}{8}y=\frac{1}{2}\times 5$$

Pasimplehin.

$$\frac{1}{6}x+\frac{1}{9}y=\frac{13}{3},\frac{1}{6}x+\frac{1}{16}y=\frac{5}{2}$$

I-subtract ang \frac{1}{6}x+\frac{1}{16}y=\frac{5}{2} mula sa \frac{1}{6}x+\frac{1}{9}y=\frac{13}{3} sa pamamagitan ng pagsu-subtract ng mga katulad na term sa bawat dulo ng equal sign.

$$\frac{1}{6}x-\frac{1}{6}x+\frac{1}{9}y-\frac{1}{16}y=\frac{13}{3}-\frac{5}{2}$$

Idagdag ang \frac{x}{6} sa -\frac{x}{6}. Naka-cancel out ang term na \frac{x}{6} at -\frac{x}{6} ang isa\'t isa, at mag-iiwan ito ng equation na may isang variable lang na maaaring lutasin.

$$\frac{1}{9}y-\frac{1}{16}y=\frac{13}{3}-\frac{5}{2}$$

Idagdag ang \frac{y}{9} sa -\frac{y}{16}.

$$\frac{7}{144}y=\frac{13}{3}-\frac{5}{2}$$

Idagdag ang \frac{13}{3} sa -\frac{5}{2} sa pamamagitan ng paghahanap ng common denominator at pagdadagdag sa mga numerator. Pagkatapos ay ibawas ang fraction sa lowest terms nito kung posible.

$$\frac{7}{144}y=\frac{11}{6}$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang \frac{7}{144}, na katumbas ng pagmu-multiply sa magkabilang dulo ng reciprocal ng fraction.

$$y=\frac{264}{7}$$

I-substitute ang \frac{264}{7} para sa y sa \frac{1}{3}x+\frac{1}{8}y=5. Dahil ang nagreresultang equation ay naglalaman lang ng isang variable, maaari mong i-solve ang x nang direkta.

$$\frac{1}{3}x+\frac{1}{8}\times \frac{264}{7}=5$$

I-multiply ang \frac{1}{8} times \frac{264}{7} sa pamamagitan ng pagmu-multiply sa numerator times numerator at denominator times denominator. Pagkatapos, i-reduce ang fraction sa lowest terms nito kung posible.

$$\frac{1}{3}x+\frac{33}{7}=5$$

I-subtract ang \frac{33}{7} mula sa magkabilang dulo ng equation.

$$\frac{1}{3}x=\frac{2}{7}$$

I-multiply ang magkabilang dulo ng equation gamit ang 3.

$$x=\frac{6}{7}$$

Nalutas na ang system.

$$x=\frac{6}{7},y=\frac{264}{7}$$