Lutasin ang {c}{y-3x+15=10}{6-4x=y}

$$\left. \begin{array} { c } { y - 3 x + 15 = 10 } \\ { 6 - 4 x = y } \end{array} \right.$$

I-solve ang y, x

$$x = \frac{11}{7} = 1\frac{4}{7} \approx 1.571428571$$

$$y=-\frac{2}{7}\approx -0.285714286$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Substitution

Isaalang-alang ang unang equation. I-subtract ang 15 mula sa magkabilang dulo.

$$y-3x=10-15$$

I-subtract ang 15 mula sa 10 para makuha ang -5.

$$y-3x=-5$$

Isaalang-alang ang pangalawang equation. I-subtract ang y mula sa magkabilang dulo.

$$6-4x-y=0$$

I-subtract ang 6 mula sa magkabilang dulo. Magiging negative ang anumang isu-subtract sa zero.

$$-4x-y=-6$$

Para mag-solve ng pares ng mga equation gamit ang substitution, i-solve muna ang isa sa mga equation para sa isa sa mga variable. Pagkatapos, i-substitute ang result para sa variable na iyon sa ibang equation.

$$y-3x=-5,-y-4x=-6$$

Pumili ng isa sa mga equation at lutasin ito para sa y sa pamamagitan ng pag-isolate sa y sa kaliwang bahagi ng equal sign.

$$y-3x=-5$$

Idagdag ang 3x sa magkabilang dulo ng equation.

$$y=3x-5$$

I-substitute ang 3x-5 para sa y sa kabilang equation na -y-4x=-6.

$$-\left(3x-5\right)-4x=-6$$

I-multiply ang -1 times 3x-5.

$$-3x+5-4x=-6$$

Idagdag ang -3x sa -4x.

$$-7x+5=-6$$

I-subtract ang 5 mula sa magkabilang dulo ng equation.

$$-7x=-11$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang -7.

$$x=\frac{11}{7}$$

I-substitute ang \frac{11}{7} para sa x sa y=3x-5. Dahil ang nagreresultang equation ay naglalaman lang ng isang variable, maaari mong i-solve ang y nang direkta.

$$y=3\times \frac{11}{7}-5$$

I-multiply ang 3 times \frac{11}{7}.

$$y=\frac{33}{7}-5$$

Idagdag ang -5 sa \frac{33}{7}.

$$y=-\frac{2}{7}$$

Nalutas na ang system.

$$y=-\frac{2}{7},x=\frac{11}{7}$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Mga Matrix

Isaalang-alang ang unang equation. I-subtract ang 15 mula sa magkabilang dulo.

$$y-3x=10-15$$

I-subtract ang 15 mula sa 10 para makuha ang -5.

$$y-3x=-5$$

Isaalang-alang ang pangalawang equation. I-subtract ang y mula sa magkabilang dulo.

$$6-4x-y=0$$

I-subtract ang 6 mula sa magkabilang dulo. Magiging negative ang anumang isu-subtract sa zero.

$$-4x-y=-6$$

Ilagay ang mga equation sa standard form at pagkatapos ay gumamit ng mga matrix para i-solve ang system ng mga equation.

$$y-3x=-5,-y-4x=-6$$

Isulat ang mga equation sa matrix form.

$$\left(\begin{matrix}1&-3\\-1&-4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-5\\-6\end{matrix}\right)$$

I-multiply sa kaliwa ang equation sa pamamagitan ng inverse matrix ng \left(\begin{matrix}1&-3\\-1&-4\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-3\\-1&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-3\\-1&-4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-3\\-1&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-5\\-6\end{matrix}\right)$$

Ang product ng isang matrix at ang inverse nito ay ang identity matrix.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-3\\-1&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-5\\-6\end{matrix}\right)$$

I-multiply ang mga matrix sa kaliwang panig ng equal sign.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-3\\-1&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-5\\-6\end{matrix}\right)$$

Para sa 2\times 2 na matrix \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), ang inverse matrix ay \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), kaya maaaring muling isulat ang equation ng matrix bilang problema sa multiplication ng matrix.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{4}{-4-\left(-3\left(-1\right)\right)}&-\frac{-3}{-4-\left(-3\left(-1\right)\right)}\\-\frac{-1}{-4-\left(-3\left(-1\right)\right)}&\frac{1}{-4-\left(-3\left(-1\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-5\\-6\end{matrix}\right)$$

Gumamit ka ng arithmetic.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{7}&-\frac{3}{7}\\-\frac{1}{7}&-\frac{1}{7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-5\\-6\end{matrix}\right)$$

I-multiply ang mga matrix.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{7}\left(-5\right)-\frac{3}{7}\left(-6\right)\\-\frac{1}{7}\left(-5\right)-\frac{1}{7}\left(-6\right)\end{matrix}\right)$$

Gumamit ka ng arithmetic.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{7}\\\frac{11}{7}\end{matrix}\right)$$

I-extract ang mga matrix element na y at x.

$$y=-\frac{2}{7},x=\frac{11}{7}$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Elimination

Isaalang-alang ang unang equation. I-subtract ang 15 mula sa magkabilang dulo.

$$y-3x=10-15$$

I-subtract ang 15 mula sa 10 para makuha ang -5.

$$y-3x=-5$$

Isaalang-alang ang pangalawang equation. I-subtract ang y mula sa magkabilang dulo.

$$6-4x-y=0$$

I-subtract ang 6 mula sa magkabilang dulo. Magiging negative ang anumang isu-subtract sa zero.

$$-4x-y=-6$$

Para mag-solve gamit ang elimination, ang mga coefficient ng isa sa mga variable ay dapat na magkatulad sa dalawang equation nang sa gayon ay magka-cancel out ang variable kapag na-substract ang equation sa kabila.

$$y-3x=-5,-y-4x=-6$$

Para gawing magkatumbas ang y at -y, i-multiply ang lahat ng term sa magkabilang dulo ng unang equation gamit ang -1 at lahat ng term sa magkabilang dulo ng pangalawa gamit ang 1.

$$-y-\left(-3x\right)=-\left(-5\right),-y-4x=-6$$

Pasimplehin.

$$-y+3x=5,-y-4x=-6$$

I-subtract ang -y-4x=-6 mula sa -y+3x=5 sa pamamagitan ng pagsu-subtract ng mga katulad na term sa bawat dulo ng equal sign.

$$-y+y+3x+4x=5+6$$

Idagdag ang -y sa y. Naka-cancel out ang term na -y at y ang isa\'t isa, at mag-iiwan ito ng equation na may isang variable lang na maaaring lutasin.

$$3x+4x=5+6$$

Idagdag ang 3x sa 4x.

$$7x=5+6$$

Idagdag ang 5 sa 6.

$$7x=11$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang 7.

$$x=\frac{11}{7}$$

I-substitute ang \frac{11}{7} para sa x sa -y-4x=-6. Dahil ang nagreresultang equation ay naglalaman lang ng isang variable, maaari mong i-solve ang y nang direkta.

$$-y-4\times \frac{11}{7}=-6$$

I-multiply ang -4 times \frac{11}{7}.

$$-y-\frac{44}{7}=-6$$

Idagdag ang \frac{44}{7} sa magkabilang dulo ng equation.

$$-y=\frac{2}{7}$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang -1.

$$y=-\frac{2}{7}$$

Nalutas na ang system.

$$y=-\frac{2}{7},x=\frac{11}{7}$$