Lutasin ang {c}{y=3+x}{5x-2y=0}

$$\left. \begin{array} { c } { y = 3 + x } \\ { 5 x - 2 y = 0 } \end{array} \right.$$

I-solve ang y, x

$$x=2$$

$$y=5$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Substitution

Isaalang-alang ang unang equation. I-subtract ang x mula sa magkabilang dulo.

$$y-x=3$$

Para mag-solve ng pares ng mga equation gamit ang substitution, i-solve muna ang isa sa mga equation para sa isa sa mga variable. Pagkatapos, i-substitute ang result para sa variable na iyon sa ibang equation.

$$y-x=3,-2y+5x=0$$

Pumili ng isa sa mga equation at lutasin ito para sa y sa pamamagitan ng pag-isolate sa y sa kaliwang bahagi ng equal sign.

$$y-x=3$$

Idagdag ang x sa magkabilang dulo ng equation.

$$y=x+3$$

I-substitute ang x+3 para sa y sa kabilang equation na -2y+5x=0.

$$-2\left(x+3\right)+5x=0$$

I-multiply ang -2 times x+3.

$$-2x-6+5x=0$$

Idagdag ang -2x sa 5x.

$$3x-6=0$$

Idagdag ang 6 sa magkabilang dulo ng equation.

$$3x=6$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang 3.

$$x=2$$

I-substitute ang 2 para sa x sa y=x+3. Dahil ang nagreresultang equation ay naglalaman lang ng isang variable, maaari mong i-solve ang y nang direkta.

$$y=2+3$$

Idagdag ang 3 sa 2.

$$y=5$$

Nalutas na ang system.

$$y=5,x=2$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Mga Matrix

Isaalang-alang ang unang equation. I-subtract ang x mula sa magkabilang dulo.

$$y-x=3$$

Ilagay ang mga equation sa standard form at pagkatapos ay gumamit ng mga matrix para i-solve ang system ng mga equation.

$$y-x=3,-2y+5x=0$$

Isulat ang mga equation sa matrix form.

$$\left(\begin{matrix}1&-1\\-2&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\0\end{matrix}\right)$$

I-multiply sa kaliwa ang equation sa pamamagitan ng inverse matrix ng \left(\begin{matrix}1&-1\\-2&5\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\-2&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-1\\-2&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\-2&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\0\end{matrix}\right)$$

Ang product ng isang matrix at ang inverse nito ay ang identity matrix.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\-2&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\0\end{matrix}\right)$$

I-multiply ang mga matrix sa kaliwang panig ng equal sign.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\-2&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\0\end{matrix}\right)$$

Para sa 2\times 2 na matrix \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), ang inverse matrix ay \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), kaya maaaring muling isulat ang equation ng matrix bilang problema sa multiplication ng matrix.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{5-\left(-\left(-2\right)\right)}&-\frac{-1}{5-\left(-\left(-2\right)\right)}\\-\frac{-2}{5-\left(-\left(-2\right)\right)}&\frac{1}{5-\left(-\left(-2\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}3\\0\end{matrix}\right)$$

Gumamit ka ng arithmetic.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{3}&\frac{1}{3}\\\frac{2}{3}&\frac{1}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}3\\0\end{matrix}\right)$$

I-multiply ang mga matrix.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{3}\times 3\\\frac{2}{3}\times 3\end{matrix}\right)$$

Gumamit ka ng arithmetic.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\2\end{matrix}\right)$$

I-extract ang mga matrix element na y at x.

$$y=5,x=2$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Elimination

Isaalang-alang ang unang equation. I-subtract ang x mula sa magkabilang dulo.

$$y-x=3$$

Para mag-solve gamit ang elimination, ang mga coefficient ng isa sa mga variable ay dapat na magkatulad sa dalawang equation nang sa gayon ay magka-cancel out ang variable kapag na-substract ang equation sa kabila.

$$y-x=3,-2y+5x=0$$

Para gawing magkatumbas ang y at -2y, i-multiply ang lahat ng term sa magkabilang dulo ng unang equation gamit ang -2 at lahat ng term sa magkabilang dulo ng pangalawa gamit ang 1.

$$-2y-2\left(-1\right)x=-2\times 3,-2y+5x=0$$

Pasimplehin.

$$-2y+2x=-6,-2y+5x=0$$

I-subtract ang -2y+5x=0 mula sa -2y+2x=-6 sa pamamagitan ng pagsu-subtract ng mga katulad na term sa bawat dulo ng equal sign.

$$-2y+2y+2x-5x=-6$$

Idagdag ang -2y sa 2y. Naka-cancel out ang term na -2y at 2y ang isa\'t isa, at mag-iiwan ito ng equation na may isang variable lang na maaaring lutasin.

$$2x-5x=-6$$

Idagdag ang 2x sa -5x.

$$-3x=-6$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang -3.

$$x=2$$

I-substitute ang 2 para sa x sa -2y+5x=0. Dahil ang nagreresultang equation ay naglalaman lang ng isang variable, maaari mong i-solve ang y nang direkta.

$$-2y+5\times 2=0$$

I-multiply ang 5 times 2.

$$-2y+10=0$$

I-subtract ang 10 mula sa magkabilang dulo ng equation.

$$-2y=-10$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang -2.

$$y=5$$

Nalutas na ang system.

$$y=5,x=2$$