Lutasin ang {c}{y=-3x+1}{y=x-7}

$$\left. \begin{array} { c } { y = - 3 x + 1 } \\ { y = x - 7 } \end{array} \right.$$

I-solve ang y, x

$$x=2$$

$$y=-5$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Substitution

Isaalang-alang ang unang equation. Idagdag ang 3x sa parehong bahagi.

$$y+3x=1$$

Isaalang-alang ang pangalawang equation. I-subtract ang x mula sa magkabilang dulo.

$$y-x=-7$$

Para mag-solve ng pares ng mga equation gamit ang substitution, i-solve muna ang isa sa mga equation para sa isa sa mga variable. Pagkatapos, i-substitute ang result para sa variable na iyon sa ibang equation.

$$y+3x=1,y-x=-7$$

Pumili ng isa sa mga equation at lutasin ito para sa y sa pamamagitan ng pag-isolate sa y sa kaliwang bahagi ng equal sign.

$$y+3x=1$$

I-subtract ang 3x mula sa magkabilang dulo ng equation.

$$y=-3x+1$$

I-substitute ang -3x+1 para sa y sa kabilang equation na y-x=-7.

$$-3x+1-x=-7$$

Idagdag ang -3x sa -x.

$$-4x+1=-7$$

I-subtract ang 1 mula sa magkabilang dulo ng equation.

$$-4x=-8$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang -4.

$$x=2$$

I-substitute ang 2 para sa x sa y=-3x+1. Dahil ang nagreresultang equation ay naglalaman lang ng isang variable, maaari mong i-solve ang y nang direkta.

$$y=-3\times 2+1$$

I-multiply ang -3 times 2.

$$y=-6+1$$

Idagdag ang 1 sa -6.

$$y=-5$$

Nalutas na ang system.

$$y=-5,x=2$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Mga Matrix

Isaalang-alang ang unang equation. Idagdag ang 3x sa parehong bahagi.

$$y+3x=1$$

Isaalang-alang ang pangalawang equation. I-subtract ang x mula sa magkabilang dulo.

$$y-x=-7$$

Ilagay ang mga equation sa standard form at pagkatapos ay gumamit ng mga matrix para i-solve ang system ng mga equation.

$$y+3x=1,y-x=-7$$

Isulat ang mga equation sa matrix form.

$$\left(\begin{matrix}1&3\\1&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\-7\end{matrix}\right)$$

I-multiply sa kaliwa ang equation sa pamamagitan ng inverse matrix ng \left(\begin{matrix}1&3\\1&-1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&3\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&3\\1&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&3\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\-7\end{matrix}\right)$$

Ang product ng isang matrix at ang inverse nito ay ang identity matrix.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&3\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\-7\end{matrix}\right)$$

I-multiply ang mga matrix sa kaliwang panig ng equal sign.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&3\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\-7\end{matrix}\right)$$

Para sa 2\times 2 na matrix \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), ang inverse matrix ay \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), kaya maaaring muling isulat ang equation ng matrix bilang problema sa multiplication ng matrix.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{-1-3}&-\frac{3}{-1-3}\\-\frac{1}{-1-3}&\frac{1}{-1-3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\-7\end{matrix}\right)$$

Gumamit ka ng arithmetic.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{4}&\frac{3}{4}\\\frac{1}{4}&-\frac{1}{4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\-7\end{matrix}\right)$$

I-multiply ang mga matrix.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{4}+\frac{3}{4}\left(-7\right)\\\frac{1}{4}-\frac{1}{4}\left(-7\right)\end{matrix}\right)$$

Gumamit ka ng arithmetic.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-5\\2\end{matrix}\right)$$

I-extract ang mga matrix element na y at x.

$$y=-5,x=2$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Elimination

Isaalang-alang ang unang equation. Idagdag ang 3x sa parehong bahagi.

$$y+3x=1$$

Isaalang-alang ang pangalawang equation. I-subtract ang x mula sa magkabilang dulo.

$$y-x=-7$$

Para mag-solve gamit ang elimination, ang mga coefficient ng isa sa mga variable ay dapat na magkatulad sa dalawang equation nang sa gayon ay magka-cancel out ang variable kapag na-substract ang equation sa kabila.

$$y+3x=1,y-x=-7$$

I-subtract ang y-x=-7 mula sa y+3x=1 sa pamamagitan ng pagsu-subtract ng mga katulad na term sa bawat dulo ng equal sign.

$$y-y+3x+x=1+7$$

Idagdag ang y sa -y. Naka-cancel out ang term na y at -y ang isa\'t isa, at mag-iiwan ito ng equation na may isang variable lang na maaaring lutasin.

$$3x+x=1+7$$

Idagdag ang 3x sa x.

$$4x=1+7$$

Idagdag ang 1 sa 7.

$$4x=8$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang 4.

$$x=2$$

I-substitute ang 2 para sa x sa y-x=-7. Dahil ang nagreresultang equation ay naglalaman lang ng isang variable, maaari mong i-solve ang y nang direkta.

$$y-2=-7$$

Idagdag ang 2 sa magkabilang dulo ng equation.

$$y=-5$$

Nalutas na ang system.

$$y=-5,x=2$$