Lutasin ang {c}{y=1/3x+7}{x+y=3}

$$\left. \begin{array} { c } { y = \frac { 1 } { 3 } x + 7 } \\ { x + y = 3 } \end{array} \right.$$

I-solve ang y, x

$$x=-3$$

$$y=6$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Substitution

Isaalang-alang ang unang equation. I-subtract ang \frac{1}{3}x mula sa magkabilang dulo.

$$y-\frac{1}{3}x=7$$

Para mag-solve ng pares ng mga equation gamit ang substitution, i-solve muna ang isa sa mga equation para sa isa sa mga variable. Pagkatapos, i-substitute ang result para sa variable na iyon sa ibang equation.

$$y-\frac{1}{3}x=7,y+x=3$$

Pumili ng isa sa mga equation at lutasin ito para sa y sa pamamagitan ng pag-isolate sa y sa kaliwang bahagi ng equal sign.

$$y-\frac{1}{3}x=7$$

Idagdag ang \frac{x}{3} sa magkabilang dulo ng equation.

$$y=\frac{1}{3}x+7$$

I-substitute ang \frac{x}{3}+7 para sa y sa kabilang equation na y+x=3.

$$\frac{1}{3}x+7+x=3$$

Idagdag ang \frac{x}{3} sa x.

$$\frac{4}{3}x+7=3$$

I-subtract ang 7 mula sa magkabilang dulo ng equation.

$$\frac{4}{3}x=-4$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang \frac{4}{3}, na katumbas ng pagmu-multiply sa magkabilang dulo ng reciprocal ng fraction.

$$x=-3$$

I-substitute ang -3 para sa x sa y=\frac{1}{3}x+7. Dahil ang nagreresultang equation ay naglalaman lang ng isang variable, maaari mong i-solve ang y nang direkta.

$$y=\frac{1}{3}\left(-3\right)+7$$

I-multiply ang \frac{1}{3} times -3.

$$y=-1+7$$

Idagdag ang 7 sa -1.

$$y=6$$

Nalutas na ang system.

$$y=6,x=-3$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Mga Matrix

Isaalang-alang ang unang equation. I-subtract ang \frac{1}{3}x mula sa magkabilang dulo.

$$y-\frac{1}{3}x=7$$

Ilagay ang mga equation sa standard form at pagkatapos ay gumamit ng mga matrix para i-solve ang system ng mga equation.

$$y-\frac{1}{3}x=7,y+x=3$$

Isulat ang mga equation sa matrix form.

$$\left(\begin{matrix}1&-\frac{1}{3}\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}7\\3\end{matrix}\right)$$

I-multiply sa kaliwa ang equation sa pamamagitan ng inverse matrix ng \left(\begin{matrix}1&-\frac{1}{3}\\1&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-\frac{1}{3}\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-\frac{1}{3}\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-\frac{1}{3}\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\3\end{matrix}\right)$$

Ang product ng isang matrix at ang inverse nito ay ang identity matrix.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-\frac{1}{3}\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\3\end{matrix}\right)$$

I-multiply ang mga matrix sa kaliwang panig ng equal sign.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-\frac{1}{3}\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\3\end{matrix}\right)$$

Para sa 2\times 2 matrix \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), ang inverse matrix ay ang \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), kaya maaaring isulat ulit ang matrix equation bilang isang matrix multiplication problem.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{1-\left(-\frac{1}{3}\right)}&-\frac{-\frac{1}{3}}{1-\left(-\frac{1}{3}\right)}\\-\frac{1}{1-\left(-\frac{1}{3}\right)}&\frac{1}{1-\left(-\frac{1}{3}\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}7\\3\end{matrix}\right)$$

Gumamit ka ng arithmetic.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{4}&\frac{1}{4}\\-\frac{3}{4}&\frac{3}{4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}7\\3\end{matrix}\right)$$

I-multiply ang mga matrix.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{4}\times 7+\frac{1}{4}\times 3\\-\frac{3}{4}\times 7+\frac{3}{4}\times 3\end{matrix}\right)$$

Gumamit ka ng arithmetic.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}6\\-3\end{matrix}\right)$$

I-extract ang mga matrix element na y at x.

$$y=6,x=-3$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Elimination

Isaalang-alang ang unang equation. I-subtract ang \frac{1}{3}x mula sa magkabilang dulo.

$$y-\frac{1}{3}x=7$$

Para mag-solve gamit ang elimination, ang mga coefficient ng isa sa mga variable ay dapat na magkatulad sa dalawang equation nang sa gayon ay magka-cancel out ang variable kapag na-substract ang equation sa kabila.

$$y-\frac{1}{3}x=7,y+x=3$$

I-subtract ang y+x=3 mula sa y-\frac{1}{3}x=7 sa pamamagitan ng pagsu-subtract ng mga katulad na term sa bawat dulo ng equal sign.

$$y-y-\frac{1}{3}x-x=7-3$$

Idagdag ang y sa -y. Naka-cancel out ang term na y at -y ang isa\'t isa, at mag-iiwan ito ng equation na may isang variable lang na maaaring lutasin.

$$-\frac{1}{3}x-x=7-3$$

Idagdag ang -\frac{x}{3} sa -x.

$$-\frac{4}{3}x=7-3$$

Idagdag ang 7 sa -3.

$$-\frac{4}{3}x=4$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang -\frac{4}{3}, na katumbas ng pagmu-multiply sa magkabilang dulo ng reciprocal ng fraction.

$$x=-3$$

I-substitute ang -3 para sa x sa y+x=3. Dahil ang nagreresultang equation ay naglalaman lang ng isang variable, maaari mong i-solve ang y nang direkta.

$$y-3=3$$

Idagdag ang 3 sa magkabilang dulo ng equation.

$$y=6$$

Nalutas na ang system.

$$y=6,x=-3$$