Lutasin ang {c}{x-y=7}{3x-6y=12}

$$\left. \begin{array} { c } { x - y = 7 } \\ { 3 x - 6 y = 12 } \end{array} \right.$$

I-solve ang x, y

$$x=10$$

$$y=3$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Substitution

Para mag-solve ng pares ng mga equation gamit ang substitution, i-solve muna ang isa sa mga equation para sa isa sa mga variable. Pagkatapos, i-substitute ang result para sa variable na iyon sa ibang equation.

$$x-y=7,3x-6y=12$$

Pumili ng isa sa mga equation at lutasin ito para sa x sa pamamagitan ng pag-isolate sa x sa kaliwang bahagi ng equal sign.

$$x-y=7$$

Idagdag ang y sa magkabilang dulo ng equation.

$$x=y+7$$

I-substitute ang y+7 para sa x sa kabilang equation na 3x-6y=12.

$$3\left(y+7\right)-6y=12$$

I-multiply ang 3 times y+7.

$$3y+21-6y=12$$

Idagdag ang 3y sa -6y.

$$-3y+21=12$$

I-subtract ang 21 mula sa magkabilang dulo ng equation.

$$-3y=-9$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang -3.

$$y=3$$

I-substitute ang 3 para sa y sa x=y+7. Dahil ang nagreresultang equation ay naglalaman lang ng isang variable, maaari mong i-solve ang x nang direkta.

$$x=3+7$$

Idagdag ang 7 sa 3.

$$x=10$$

Nalutas na ang system.

$$x=10,y=3$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Mga Matrix

Ilagay ang mga equation sa standard form at pagkatapos ay gumamit ng mga matrix para i-solve ang system ng mga equation.

$$x-y=7,3x-6y=12$$

Isulat ang mga equation sa matrix form.

$$\left(\begin{matrix}1&-1\\3&-6\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}7\\12\end{matrix}\right)$$

I-multiply sa kaliwa ang equation sa pamamagitan ng inverse matrix ng \left(\begin{matrix}1&-1\\3&-6\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\3&-6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-1\\3&-6\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\3&-6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\12\end{matrix}\right)$$

Ang product ng isang matrix at ang inverse nito ay ang identity matrix.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\3&-6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\12\end{matrix}\right)$$

I-multiply ang mga matrix sa kaliwang panig ng equal sign.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\3&-6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\12\end{matrix}\right)$$

Para sa 2\times 2 na matrix \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), ang inverse matrix ay \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), kaya maaaring muling isulat ang equation ng matrix bilang problema sa multiplication ng matrix.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{6}{-6-\left(-3\right)}&-\frac{-1}{-6-\left(-3\right)}\\-\frac{3}{-6-\left(-3\right)}&\frac{1}{-6-\left(-3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}7\\12\end{matrix}\right)$$

Gumamit ka ng arithmetic.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2&-\frac{1}{3}\\1&-\frac{1}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}7\\12\end{matrix}\right)$$

I-multiply ang mga matrix.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\times 7-\frac{1}{3}\times 12\\7-\frac{1}{3}\times 12\end{matrix}\right)$$

Gumamit ka ng arithmetic.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}10\\3\end{matrix}\right)$$

I-extract ang mga matrix element na x at y.

$$x=10,y=3$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Elimination

Para mag-solve gamit ang elimination, ang mga coefficient ng isa sa mga variable ay dapat na magkatulad sa dalawang equation nang sa gayon ay magka-cancel out ang variable kapag na-substract ang equation sa kabila.

$$x-y=7,3x-6y=12$$

Para gawing magkatumbas ang x at 3x, i-multiply ang lahat ng term sa magkabilang dulo ng unang equation gamit ang 3 at lahat ng term sa magkabilang dulo ng pangalawa gamit ang 1.

$$3x+3\left(-1\right)y=3\times 7,3x-6y=12$$

Pasimplehin.

$$3x-3y=21,3x-6y=12$$

I-subtract ang 3x-6y=12 mula sa 3x-3y=21 sa pamamagitan ng pagsu-subtract ng mga katulad na term sa bawat dulo ng equal sign.

$$3x-3x-3y+6y=21-12$$

Idagdag ang 3x sa -3x. Naka-cancel out ang term na 3x at -3x ang isa\'t isa, at mag-iiwan ito ng equation na may isang variable lang na maaaring lutasin.

$$-3y+6y=21-12$$

Idagdag ang -3y sa 6y.

$$3y=21-12$$

Idagdag ang 21 sa -12.

$$3y=9$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang 3.

$$y=3$$

I-substitute ang 3 para sa y sa 3x-6y=12. Dahil ang nagreresultang equation ay naglalaman lang ng isang variable, maaari mong i-solve ang x nang direkta.

$$3x-6\times 3=12$$

I-multiply ang -6 times 3.

$$3x-18=12$$

Idagdag ang 18 sa magkabilang dulo ng equation.

$$3x=30$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang 3.

$$x=10$$

Nalutas na ang system.

$$x=10,y=3$$