Lutasin ang {c}{x=6+y}{4y=-2x}

$$\left. \begin{array} { c } { x = 6 + y } \\ { 4 y = - 2 x } \end{array} \right.$$

I-solve ang x, y

$$x=4$$

$$y=-2$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Substitution

Isaalang-alang ang unang equation. I-subtract ang y mula sa magkabilang dulo.

$$x-y=6$$

Isaalang-alang ang pangalawang equation. Idagdag ang 2x sa parehong bahagi.

$$4y+2x=0$$

Para mag-solve ng pares ng mga equation gamit ang substitution, i-solve muna ang isa sa mga equation para sa isa sa mga variable. Pagkatapos, i-substitute ang result para sa variable na iyon sa ibang equation.

$$x-y=6,2x+4y=0$$

Pumili ng isa sa mga equation at lutasin ito para sa x sa pamamagitan ng pag-isolate sa x sa kaliwang bahagi ng equal sign.

$$x-y=6$$

Idagdag ang y sa magkabilang dulo ng equation.

$$x=y+6$$

I-substitute ang y+6 para sa x sa kabilang equation na 2x+4y=0.

$$2\left(y+6\right)+4y=0$$

I-multiply ang 2 times y+6.

$$2y+12+4y=0$$

Idagdag ang 2y sa 4y.

$$6y+12=0$$

I-subtract ang 12 mula sa magkabilang dulo ng equation.

$$6y=-12$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang 6.

$$y=-2$$

I-substitute ang -2 para sa y sa x=y+6. Dahil ang nagreresultang equation ay naglalaman lang ng isang variable, maaari mong i-solve ang x nang direkta.

$$x=-2+6$$

Idagdag ang 6 sa -2.

$$x=4$$

Nalutas na ang system.

$$x=4,y=-2$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Mga Matrix

Isaalang-alang ang unang equation. I-subtract ang y mula sa magkabilang dulo.

$$x-y=6$$

Isaalang-alang ang pangalawang equation. Idagdag ang 2x sa parehong bahagi.

$$4y+2x=0$$

Ilagay ang mga equation sa standard form at pagkatapos ay gumamit ng mga matrix para i-solve ang system ng mga equation.

$$x-y=6,2x+4y=0$$

Isulat ang mga equation sa matrix form.

$$\left(\begin{matrix}1&-1\\2&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}6\\0\end{matrix}\right)$$

I-multiply sa kaliwa ang equation sa pamamagitan ng inverse matrix ng \left(\begin{matrix}1&-1\\2&4\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\2&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-1\\2&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\2&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\0\end{matrix}\right)$$

Ang product ng isang matrix at ang inverse nito ay ang identity matrix.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\2&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\0\end{matrix}\right)$$

I-multiply ang mga matrix sa kaliwang panig ng equal sign.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\2&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\0\end{matrix}\right)$$

Para sa 2\times 2 matrix \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), ang inverse matrix ay ang \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), kaya maaaring isulat ulit ang matrix equation bilang isang matrix multiplication problem.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{4-\left(-2\right)}&-\frac{-1}{4-\left(-2\right)}\\-\frac{2}{4-\left(-2\right)}&\frac{1}{4-\left(-2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}6\\0\end{matrix}\right)$$

Gumamit ka ng arithmetic.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{3}&\frac{1}{6}\\-\frac{1}{3}&\frac{1}{6}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}6\\0\end{matrix}\right)$$

I-multiply ang mga matrix.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{3}\times 6\\-\frac{1}{3}\times 6\end{matrix}\right)$$

Gumamit ka ng arithmetic.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\-2\end{matrix}\right)$$

I-extract ang mga matrix element na x at y.

$$x=4,y=-2$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Elimination

Isaalang-alang ang unang equation. I-subtract ang y mula sa magkabilang dulo.

$$x-y=6$$

Isaalang-alang ang pangalawang equation. Idagdag ang 2x sa parehong bahagi.

$$4y+2x=0$$

Para mag-solve gamit ang elimination, ang mga coefficient ng isa sa mga variable ay dapat na magkatulad sa dalawang equation nang sa gayon ay magka-cancel out ang variable kapag na-substract ang equation sa kabila.

$$x-y=6,2x+4y=0$$

Para gawing magkatumbas ang x at 2x, i-multiply ang lahat ng term sa magkabilang dulo ng unang equation gamit ang 2 at lahat ng term sa magkabilang dulo ng pangalawa gamit ang 1.

$$2x+2\left(-1\right)y=2\times 6,2x+4y=0$$

Pasimplehin.

$$2x-2y=12,2x+4y=0$$

I-subtract ang 2x+4y=0 mula sa 2x-2y=12 sa pamamagitan ng pagsu-subtract ng mga katulad na term sa bawat dulo ng equal sign.

$$2x-2x-2y-4y=12$$

Idagdag ang 2x sa -2x. Naka-cancel out ang term na 2x at -2x ang isa\'t isa, at mag-iiwan ito ng equation na may isang variable lang na maaaring lutasin.

$$-2y-4y=12$$

Idagdag ang -2y sa -4y.

$$-6y=12$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang -6.

$$y=-2$$

I-substitute ang -2 para sa y sa 2x+4y=0. Dahil ang nagreresultang equation ay naglalaman lang ng isang variable, maaari mong i-solve ang x nang direkta.

$$2x+4\left(-2\right)=0$$

I-multiply ang 4 times -2.

$$2x-8=0$$

Idagdag ang 8 sa magkabilang dulo ng equation.

$$2x=8$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang 2.

$$x=4$$

Nalutas na ang system.

$$x=4,y=-2$$