Lutasin ang {c}{x=3y+2}{x-5=4(y-5)}

$$\left. \begin{array} { c } { x = 3 y + 2 } \\ { x - 5 = 4 ( y - 5 ) } \end{array} \right.$$

I-solve ang x, y

$$x=53$$

$$y=17$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Substitution

Isaalang-alang ang unang equation. I-subtract ang 3y mula sa magkabilang dulo.

$$x-3y=2$$

Isaalang-alang ang pangalawang equation. Gamitin ang distributive property para i-multiply ang 4 gamit ang y-5.

$$x-5=4y-20$$

I-subtract ang 4y mula sa magkabilang dulo.

$$x-5-4y=-20$$

Idagdag ang 5 sa parehong bahagi.

$$x-4y=-20+5$$

Idagdag ang -20 at 5 para makuha ang -15.

$$x-4y=-15$$

Para mag-solve ng pares ng mga equation gamit ang substitution, i-solve muna ang isa sa mga equation para sa isa sa mga variable. Pagkatapos, i-substitute ang result para sa variable na iyon sa ibang equation.

$$x-3y=2,x-4y=-15$$

Pumili ng isa sa mga equation at lutasin ito para sa x sa pamamagitan ng pag-isolate sa x sa kaliwang bahagi ng equal sign.

$$x-3y=2$$

Idagdag ang 3y sa magkabilang dulo ng equation.

$$x=3y+2$$

I-substitute ang 3y+2 para sa x sa kabilang equation na x-4y=-15.

$$3y+2-4y=-15$$

Idagdag ang 3y sa -4y.

$$-y+2=-15$$

I-subtract ang 2 mula sa magkabilang dulo ng equation.

$$-y=-17$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang -1.

$$y=17$$

I-substitute ang 17 para sa y sa x=3y+2. Dahil ang nagreresultang equation ay naglalaman lang ng isang variable, maaari mong i-solve ang x nang direkta.

$$x=3\times 17+2$$

I-multiply ang 3 times 17.

$$x=51+2$$

Idagdag ang 2 sa 51.

$$x=53$$

Nalutas na ang system.

$$x=53,y=17$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Mga Matrix

Isaalang-alang ang unang equation. I-subtract ang 3y mula sa magkabilang dulo.

$$x-3y=2$$

Isaalang-alang ang pangalawang equation. Gamitin ang distributive property para i-multiply ang 4 gamit ang y-5.

$$x-5=4y-20$$

I-subtract ang 4y mula sa magkabilang dulo.

$$x-5-4y=-20$$

Idagdag ang 5 sa parehong bahagi.

$$x-4y=-20+5$$

Idagdag ang -20 at 5 para makuha ang -15.

$$x-4y=-15$$

Ilagay ang mga equation sa standard form at pagkatapos ay gumamit ng mga matrix para i-solve ang system ng mga equation.

$$x-3y=2,x-4y=-15$$

Isulat ang mga equation sa matrix form.

$$\left(\begin{matrix}1&-3\\1&-4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\-15\end{matrix}\right)$$

I-multiply sa kaliwa ang equation sa pamamagitan ng inverse matrix ng \left(\begin{matrix}1&-3\\1&-4\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-3\\1&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-3\\1&-4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-3\\1&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\-15\end{matrix}\right)$$

Ang product ng isang matrix at ang inverse nito ay ang identity matrix.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-3\\1&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\-15\end{matrix}\right)$$

I-multiply ang mga matrix sa kaliwang panig ng equal sign.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-3\\1&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\-15\end{matrix}\right)$$

Para sa 2\times 2 na matrix \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), ang inverse matrix ay \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), kaya maaaring muling isulat ang equation ng matrix bilang problema sa multiplication ng matrix.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{4}{-4-\left(-3\right)}&-\frac{-3}{-4-\left(-3\right)}\\-\frac{1}{-4-\left(-3\right)}&\frac{1}{-4-\left(-3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2\\-15\end{matrix}\right)$$

Gumamit ka ng arithmetic.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4&-3\\1&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2\\-15\end{matrix}\right)$$

I-multiply ang mga matrix.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\times 2-3\left(-15\right)\\2-\left(-15\right)\end{matrix}\right)$$

Gumamit ka ng arithmetic.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}53\\17\end{matrix}\right)$$

I-extract ang mga matrix element na x at y.

$$x=53,y=17$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Elimination

Isaalang-alang ang unang equation. I-subtract ang 3y mula sa magkabilang dulo.

$$x-3y=2$$

Isaalang-alang ang pangalawang equation. Gamitin ang distributive property para i-multiply ang 4 gamit ang y-5.

$$x-5=4y-20$$

I-subtract ang 4y mula sa magkabilang dulo.

$$x-5-4y=-20$$

Idagdag ang 5 sa parehong bahagi.

$$x-4y=-20+5$$

Idagdag ang -20 at 5 para makuha ang -15.

$$x-4y=-15$$

Para mag-solve gamit ang elimination, ang mga coefficient ng isa sa mga variable ay dapat na magkatulad sa dalawang equation nang sa gayon ay magka-cancel out ang variable kapag na-substract ang equation sa kabila.

$$x-3y=2,x-4y=-15$$

I-subtract ang x-4y=-15 mula sa x-3y=2 sa pamamagitan ng pagsu-subtract ng mga katulad na term sa bawat dulo ng equal sign.

$$x-x-3y+4y=2+15$$

Idagdag ang x sa -x. Naka-cancel out ang term na x at -x ang isa\'t isa, at mag-iiwan ito ng equation na may isang variable lang na maaaring lutasin.

$$-3y+4y=2+15$$

Idagdag ang -3y sa 4y.

$$y=2+15$$

Idagdag ang 2 sa 15.

$$y=17$$

I-substitute ang 17 para sa y sa x-4y=-15. Dahil ang nagreresultang equation ay naglalaman lang ng isang variable, maaari mong i-solve ang x nang direkta.

$$x-4\times 17=-15$$

I-multiply ang -4 times 17.

$$x-68=-15$$

Idagdag ang 68 sa magkabilang dulo ng equation.

$$x=53$$

Nalutas na ang system.

$$x=53,y=17$$