Lutasin ang {c}{x+y=8}{9x+7y=-1}

$$\left. \begin{array} { c } { x + y = 8 } \\ { 9 x + 7 y = - 1 } \end{array} \right.$$

I-solve ang x, y

$$x = -\frac{57}{2} = -28\frac{1}{2} = -28.5$$

$$y = \frac{73}{2} = 36\frac{1}{2} = 36.5$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Substitution

Para mag-solve ng pares ng mga equation gamit ang substitution, i-solve muna ang isa sa mga equation para sa isa sa mga variable. Pagkatapos, i-substitute ang result para sa variable na iyon sa ibang equation.

$$x+y=8,9x+7y=-1$$

Pumili ng isa sa mga equation at lutasin ito para sa x sa pamamagitan ng pag-isolate sa x sa kaliwang bahagi ng equal sign.

$$x+y=8$$

I-subtract ang y mula sa magkabilang dulo ng equation.

$$x=-y+8$$

I-substitute ang -y+8 para sa x sa kabilang equation na 9x+7y=-1.

$$9\left(-y+8\right)+7y=-1$$

I-multiply ang 9 times -y+8.

$$-9y+72+7y=-1$$

Idagdag ang -9y sa 7y.

$$-2y+72=-1$$

I-subtract ang 72 mula sa magkabilang dulo ng equation.

$$-2y=-73$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang -2.

$$y=\frac{73}{2}$$

I-substitute ang \frac{73}{2} para sa y sa x=-y+8. Dahil ang nagreresultang equation ay naglalaman lang ng isang variable, maaari mong i-solve ang x nang direkta.

$$x=-\frac{73}{2}+8$$

Idagdag ang 8 sa -\frac{73}{2}.

$$x=-\frac{57}{2}$$

Nalutas na ang system.

$$x=-\frac{57}{2},y=\frac{73}{2}$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Mga Matrix

Ilagay ang mga equation sa standard form at pagkatapos ay gumamit ng mga matrix para i-solve ang system ng mga equation.

$$x+y=8,9x+7y=-1$$

Isulat ang mga equation sa matrix form.

$$\left(\begin{matrix}1&1\\9&7\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}8\\-1\end{matrix}\right)$$

I-multiply sa kaliwa ang equation sa pamamagitan ng inverse matrix ng \left(\begin{matrix}1&1\\9&7\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\9&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&1\\9&7\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\9&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\-1\end{matrix}\right)$$

Ang product ng isang matrix at ang inverse nito ay ang identity matrix.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\9&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\-1\end{matrix}\right)$$

I-multiply ang mga matrix sa kaliwang panig ng equal sign.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\9&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\-1\end{matrix}\right)$$

Para sa 2\times 2 na matrix \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), ang inverse matrix ay \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), kaya maaaring muling isulat ang equation ng matrix bilang problema sa multiplication ng matrix.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{7-9}&-\frac{1}{7-9}\\-\frac{9}{7-9}&\frac{1}{7-9}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}8\\-1\end{matrix}\right)$$

Gumamit ka ng arithmetic.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{7}{2}&\frac{1}{2}\\\frac{9}{2}&-\frac{1}{2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}8\\-1\end{matrix}\right)$$

I-multiply ang mga matrix.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{7}{2}\times 8+\frac{1}{2}\left(-1\right)\\\frac{9}{2}\times 8-\frac{1}{2}\left(-1\right)\end{matrix}\right)$$

Gumamit ka ng arithmetic.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{57}{2}\\\frac{73}{2}\end{matrix}\right)$$

I-extract ang mga matrix element na x at y.

$$x=-\frac{57}{2},y=\frac{73}{2}$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Elimination

Para mag-solve gamit ang elimination, ang mga coefficient ng isa sa mga variable ay dapat na magkatulad sa dalawang equation nang sa gayon ay magka-cancel out ang variable kapag na-substract ang equation sa kabila.

$$x+y=8,9x+7y=-1$$

Para gawing magkatumbas ang x at 9x, i-multiply ang lahat ng term sa magkabilang dulo ng unang equation gamit ang 9 at lahat ng term sa magkabilang dulo ng pangalawa gamit ang 1.

$$9x+9y=9\times 8,9x+7y=-1$$

Pasimplehin.

$$9x+9y=72,9x+7y=-1$$

I-subtract ang 9x+7y=-1 mula sa 9x+9y=72 sa pamamagitan ng pagsu-subtract ng mga katulad na term sa bawat dulo ng equal sign.

$$9x-9x+9y-7y=72+1$$

Idagdag ang 9x sa -9x. Naka-cancel out ang term na 9x at -9x ang isa\'t isa, at mag-iiwan ito ng equation na may isang variable lang na maaaring lutasin.

$$9y-7y=72+1$$

Idagdag ang 9y sa -7y.

$$2y=72+1$$

Idagdag ang 72 sa 1.

$$2y=73$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang 2.

$$y=\frac{73}{2}$$

I-substitute ang \frac{73}{2} para sa y sa 9x+7y=-1. Dahil ang nagreresultang equation ay naglalaman lang ng isang variable, maaari mong i-solve ang x nang direkta.

$$9x+7\times \frac{73}{2}=-1$$

I-multiply ang 7 times \frac{73}{2}.

$$9x+\frac{511}{2}=-1$$

I-subtract ang \frac{511}{2} mula sa magkabilang dulo ng equation.

$$9x=-\frac{513}{2}$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang 9.

$$x=-\frac{57}{2}$$

Nalutas na ang system.

$$x=-\frac{57}{2},y=\frac{73}{2}$$