Lutasin ang {c}{x+y=8}{40x+55y=410}

$$\left. \begin{array} { c } { x + y = 8 } \\ { 40 x + 55 y = 410 } \end{array} \right.$$

I-solve ang x, y

$$x=2$$

$$y=6$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Substitution

Para mag-solve ng pares ng mga equation gamit ang substitution, i-solve muna ang isa sa mga equation para sa isa sa mga variable. Pagkatapos, i-substitute ang result para sa variable na iyon sa ibang equation.

$$x+y=8,40x+55y=410$$

Pumili ng isa sa mga equation at lutasin ito para sa x sa pamamagitan ng pag-isolate sa x sa kaliwang bahagi ng equal sign.

$$x+y=8$$

I-subtract ang y mula sa magkabilang dulo ng equation.

$$x=-y+8$$

I-substitute ang -y+8 para sa x sa kabilang equation na 40x+55y=410.

$$40\left(-y+8\right)+55y=410$$

I-multiply ang 40 times -y+8.

$$-40y+320+55y=410$$

Idagdag ang -40y sa 55y.

$$15y+320=410$$

I-subtract ang 320 mula sa magkabilang dulo ng equation.

$$15y=90$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang 15.

$$y=6$$

I-substitute ang 6 para sa y sa x=-y+8. Dahil ang nagreresultang equation ay naglalaman lang ng isang variable, maaari mong i-solve ang x nang direkta.

$$x=-6+8$$

Idagdag ang 8 sa -6.

$$x=2$$

Nalutas na ang system.

$$x=2,y=6$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Mga Matrix

Ilagay ang mga equation sa standard form at pagkatapos ay gumamit ng mga matrix para i-solve ang system ng mga equation.

$$x+y=8,40x+55y=410$$

Isulat ang mga equation sa matrix form.

$$\left(\begin{matrix}1&1\\40&55\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}8\\410\end{matrix}\right)$$

I-multiply sa kaliwa ang equation sa pamamagitan ng inverse matrix ng \left(\begin{matrix}1&1\\40&55\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\40&55\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&1\\40&55\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\40&55\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\410\end{matrix}\right)$$

Ang product ng isang matrix at ang inverse nito ay ang identity matrix.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\40&55\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\410\end{matrix}\right)$$

I-multiply ang mga matrix sa kaliwang panig ng equal sign.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\40&55\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\410\end{matrix}\right)$$

Para sa 2\times 2 na matrix \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), ang inverse matrix ay \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), kaya maaaring muling isulat ang equation ng matrix bilang problema sa multiplication ng matrix.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{55}{55-40}&-\frac{1}{55-40}\\-\frac{40}{55-40}&\frac{1}{55-40}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}8\\410\end{matrix}\right)$$

Gumamit ka ng arithmetic.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{11}{3}&-\frac{1}{15}\\-\frac{8}{3}&\frac{1}{15}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}8\\410\end{matrix}\right)$$

I-multiply ang mga matrix.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{11}{3}\times 8-\frac{1}{15}\times 410\\-\frac{8}{3}\times 8+\frac{1}{15}\times 410\end{matrix}\right)$$

Gumamit ka ng arithmetic.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\6\end{matrix}\right)$$

I-extract ang mga matrix element na x at y.

$$x=2,y=6$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Elimination

Para mag-solve gamit ang elimination, ang mga coefficient ng isa sa mga variable ay dapat na magkatulad sa dalawang equation nang sa gayon ay magka-cancel out ang variable kapag na-substract ang equation sa kabila.

$$x+y=8,40x+55y=410$$

Para gawing magkatumbas ang x at 40x, i-multiply ang lahat ng term sa magkabilang dulo ng unang equation gamit ang 40 at lahat ng term sa magkabilang dulo ng pangalawa gamit ang 1.

$$40x+40y=40\times 8,40x+55y=410$$

Pasimplehin.

$$40x+40y=320,40x+55y=410$$

I-subtract ang 40x+55y=410 mula sa 40x+40y=320 sa pamamagitan ng pagsu-subtract ng mga katulad na term sa bawat dulo ng equal sign.

$$40x-40x+40y-55y=320-410$$

Idagdag ang 40x sa -40x. Naka-cancel out ang term na 40x at -40x ang isa\'t isa, at mag-iiwan ito ng equation na may isang variable lang na maaaring lutasin.

$$40y-55y=320-410$$

Idagdag ang 40y sa -55y.

$$-15y=320-410$$

Idagdag ang 320 sa -410.

$$-15y=-90$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang -15.

$$y=6$$

I-substitute ang 6 para sa y sa 40x+55y=410. Dahil ang nagreresultang equation ay naglalaman lang ng isang variable, maaari mong i-solve ang x nang direkta.

$$40x+55\times 6=410$$

I-multiply ang 55 times 6.

$$40x+330=410$$

I-subtract ang 330 mula sa magkabilang dulo ng equation.

$$40x=80$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang 40.

$$x=2$$

Nalutas na ang system.

$$x=2,y=6$$