Lutasin ang {c}{x+y=500}{50x+80y=28000}

$$\left. \begin{array} { c } { x + y = 500 } \\ { 50 x + 80 y = 28000 } \end{array} \right.$$

I-solve ang x, y

$$x=400$$

$$y=100$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Substitution

Para mag-solve ng pares ng mga equation gamit ang substitution, i-solve muna ang isa sa mga equation para sa isa sa mga variable. Pagkatapos, i-substitute ang result para sa variable na iyon sa ibang equation.

$$x+y=500,50x+80y=28000$$

Pumili ng isa sa mga equation at lutasin ito para sa x sa pamamagitan ng pag-isolate sa x sa kaliwang bahagi ng equal sign.

$$x+y=500$$

I-subtract ang y mula sa magkabilang dulo ng equation.

$$x=-y+500$$

I-substitute ang -y+500 para sa x sa kabilang equation na 50x+80y=28000.

$$50\left(-y+500\right)+80y=28000$$

I-multiply ang 50 times -y+500.

$$-50y+25000+80y=28000$$

Idagdag ang -50y sa 80y.

$$30y+25000=28000$$

I-subtract ang 25000 mula sa magkabilang dulo ng equation.

$$30y=3000$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang 30.

$$y=100$$

I-substitute ang 100 para sa y sa x=-y+500. Dahil ang nagreresultang equation ay naglalaman lang ng isang variable, maaari mong i-solve ang x nang direkta.

$$x=-100+500$$

Idagdag ang 500 sa -100.

$$x=400$$

Nalutas na ang system.

$$x=400,y=100$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Mga Matrix

Ilagay ang mga equation sa standard form at pagkatapos ay gumamit ng mga matrix para i-solve ang system ng mga equation.

$$x+y=500,50x+80y=28000$$

Isulat ang mga equation sa matrix form.

$$\left(\begin{matrix}1&1\\50&80\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}500\\28000\end{matrix}\right)$$

I-multiply sa kaliwa ang equation sa pamamagitan ng inverse matrix ng \left(\begin{matrix}1&1\\50&80\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\50&80\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&1\\50&80\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\50&80\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}500\\28000\end{matrix}\right)$$

Ang product ng isang matrix at ang inverse nito ay ang identity matrix.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\50&80\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}500\\28000\end{matrix}\right)$$

I-multiply ang mga matrix sa kaliwang panig ng equal sign.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\50&80\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}500\\28000\end{matrix}\right)$$

Para sa 2\times 2 na matrix \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), ang inverse matrix ay \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), kaya maaaring muling isulat ang equation ng matrix bilang problema sa multiplication ng matrix.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{80}{80-50}&-\frac{1}{80-50}\\-\frac{50}{80-50}&\frac{1}{80-50}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}500\\28000\end{matrix}\right)$$

Gumamit ka ng arithmetic.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{8}{3}&-\frac{1}{30}\\-\frac{5}{3}&\frac{1}{30}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}500\\28000\end{matrix}\right)$$

I-multiply ang mga matrix.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{8}{3}\times 500-\frac{1}{30}\times 28000\\-\frac{5}{3}\times 500+\frac{1}{30}\times 28000\end{matrix}\right)$$

Gumamit ka ng arithmetic.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}400\\100\end{matrix}\right)$$

I-extract ang mga matrix element na x at y.

$$x=400,y=100$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Elimination

Para mag-solve gamit ang elimination, ang mga coefficient ng isa sa mga variable ay dapat na magkatulad sa dalawang equation nang sa gayon ay magka-cancel out ang variable kapag na-substract ang equation sa kabila.

$$x+y=500,50x+80y=28000$$

Para gawing magkatumbas ang x at 50x, i-multiply ang lahat ng term sa magkabilang dulo ng unang equation gamit ang 50 at lahat ng term sa magkabilang dulo ng pangalawa gamit ang 1.

$$50x+50y=50\times 500,50x+80y=28000$$

Pasimplehin.

$$50x+50y=25000,50x+80y=28000$$

I-subtract ang 50x+80y=28000 mula sa 50x+50y=25000 sa pamamagitan ng pagsu-subtract ng mga katulad na term sa bawat dulo ng equal sign.

$$50x-50x+50y-80y=25000-28000$$

Idagdag ang 50x sa -50x. Naka-cancel out ang term na 50x at -50x ang isa\'t isa, at mag-iiwan ito ng equation na may isang variable lang na maaaring lutasin.

$$50y-80y=25000-28000$$

Idagdag ang 50y sa -80y.

$$-30y=25000-28000$$

Idagdag ang 25000 sa -28000.

$$-30y=-3000$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang -30.

$$y=100$$

I-substitute ang 100 para sa y sa 50x+80y=28000. Dahil ang nagreresultang equation ay naglalaman lang ng isang variable, maaari mong i-solve ang x nang direkta.

$$50x+80\times 100=28000$$

I-multiply ang 80 times 100.

$$50x+8000=28000$$

I-subtract ang 8000 mula sa magkabilang dulo ng equation.

$$50x=20000$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang 50.

$$x=400$$

Nalutas na ang system.

$$x=400,y=100$$