Lutasin ang {c}{x+y=50}{300x+200y=11500}

$$\left. \begin{array} { c } { x + y = 50 } \\ { 300 x + 200 y = 11500 } \end{array} \right.$$

I-solve ang x, y

$$x=15$$

$$y=35$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Substitution

Para mag-solve ng pares ng mga equation gamit ang substitution, i-solve muna ang isa sa mga equation para sa isa sa mga variable. Pagkatapos, i-substitute ang result para sa variable na iyon sa ibang equation.

$$x+y=50,300x+200y=11500$$

Pumili ng isa sa mga equation at lutasin ito para sa x sa pamamagitan ng pag-isolate sa x sa kaliwang bahagi ng equal sign.

$$x+y=50$$

I-subtract ang y mula sa magkabilang dulo ng equation.

$$x=-y+50$$

I-substitute ang -y+50 para sa x sa kabilang equation na 300x+200y=11500.

$$300\left(-y+50\right)+200y=11500$$

I-multiply ang 300 times -y+50.

$$-300y+15000+200y=11500$$

Idagdag ang -300y sa 200y.

$$-100y+15000=11500$$

I-subtract ang 15000 mula sa magkabilang dulo ng equation.

$$-100y=-3500$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang -100.

$$y=35$$

I-substitute ang 35 para sa y sa x=-y+50. Dahil ang nagreresultang equation ay naglalaman lang ng isang variable, maaari mong i-solve ang x nang direkta.

$$x=-35+50$$

Idagdag ang 50 sa -35.

$$x=15$$

Nalutas na ang system.

$$x=15,y=35$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Mga Matrix

Ilagay ang mga equation sa standard form at pagkatapos ay gumamit ng mga matrix para i-solve ang system ng mga equation.

$$x+y=50,300x+200y=11500$$

Isulat ang mga equation sa matrix form.

$$\left(\begin{matrix}1&1\\300&200\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}50\\11500\end{matrix}\right)$$

I-multiply sa kaliwa ang equation sa pamamagitan ng inverse matrix ng \left(\begin{matrix}1&1\\300&200\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\300&200\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&1\\300&200\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\300&200\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}50\\11500\end{matrix}\right)$$

Ang product ng isang matrix at ang inverse nito ay ang identity matrix.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\300&200\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}50\\11500\end{matrix}\right)$$

I-multiply ang mga matrix sa kaliwang panig ng equal sign.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\300&200\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}50\\11500\end{matrix}\right)$$

Para sa 2\times 2 na matrix \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), ang inverse matrix ay \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), kaya maaaring muling isulat ang equation ng matrix bilang problema sa multiplication ng matrix.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{200}{200-300}&-\frac{1}{200-300}\\-\frac{300}{200-300}&\frac{1}{200-300}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}50\\11500\end{matrix}\right)$$

Gumamit ka ng arithmetic.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-2&\frac{1}{100}\\3&-\frac{1}{100}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}50\\11500\end{matrix}\right)$$

I-multiply ang mga matrix.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-2\times 50+\frac{1}{100}\times 11500\\3\times 50-\frac{1}{100}\times 11500\end{matrix}\right)$$

Gumamit ka ng arithmetic.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}15\\35\end{matrix}\right)$$

I-extract ang mga matrix element na x at y.

$$x=15,y=35$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Elimination

Para mag-solve gamit ang elimination, ang mga coefficient ng isa sa mga variable ay dapat na magkatulad sa dalawang equation nang sa gayon ay magka-cancel out ang variable kapag na-substract ang equation sa kabila.

$$x+y=50,300x+200y=11500$$

Para gawing magkatumbas ang x at 300x, i-multiply ang lahat ng term sa magkabilang dulo ng unang equation gamit ang 300 at lahat ng term sa magkabilang dulo ng pangalawa gamit ang 1.

$$300x+300y=300\times 50,300x+200y=11500$$

Pasimplehin.

$$300x+300y=15000,300x+200y=11500$$

I-subtract ang 300x+200y=11500 mula sa 300x+300y=15000 sa pamamagitan ng pagsu-subtract ng mga katulad na term sa bawat dulo ng equal sign.

$$300x-300x+300y-200y=15000-11500$$

Idagdag ang 300x sa -300x. Naka-cancel out ang term na 300x at -300x ang isa\'t isa, at mag-iiwan ito ng equation na may isang variable lang na maaaring lutasin.

$$300y-200y=15000-11500$$

Idagdag ang 300y sa -200y.

$$100y=15000-11500$$

Idagdag ang 15000 sa -11500.

$$100y=3500$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang 100.

$$y=35$$

I-substitute ang 35 para sa y sa 300x+200y=11500. Dahil ang nagreresultang equation ay naglalaman lang ng isang variable, maaari mong i-solve ang x nang direkta.

$$300x+200\times 35=11500$$

I-multiply ang 200 times 35.

$$300x+7000=11500$$

I-subtract ang 7000 mula sa magkabilang dulo ng equation.

$$300x=4500$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang 300.

$$x=15$$

Nalutas na ang system.

$$x=15,y=35$$