Lutasin ang {c}{x+y=5.90}{2x+4y=16.80}

$$\left. \begin{array} { c } { x + y = 5.90 } \\ { 2 x + 4 y = 16.80 } \end{array} \right.$$

I-solve ang x, y

$$x=3.4$$

$$y=2.5$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Substitution

Para mag-solve ng pares ng mga equation gamit ang substitution, i-solve muna ang isa sa mga equation para sa isa sa mga variable. Pagkatapos, i-substitute ang result para sa variable na iyon sa ibang equation.

$$x+y=5.9,2x+4y=16.8$$

Pumili ng isa sa mga equation at lutasin ito para sa x sa pamamagitan ng pag-isolate sa x sa kaliwang bahagi ng equal sign.

$$x+y=5.9$$

I-subtract ang y mula sa magkabilang dulo ng equation.

$$x=-y+5.9$$

I-substitute ang -y+5.9 para sa x sa kabilang equation na 2x+4y=16.8.

$$2\left(-y+5.9\right)+4y=16.8$$

I-multiply ang 2 times -y+5.9.

$$-2y+11.8+4y=16.8$$

Idagdag ang -2y sa 4y.

$$2y+11.8=16.8$$

I-subtract ang 11.8 mula sa magkabilang dulo ng equation.

$$2y=5$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang 2.

$$y=\frac{5}{2}$$

I-substitute ang \frac{5}{2} para sa y sa x=-y+5.9. Dahil ang nagreresultang equation ay naglalaman lang ng isang variable, maaari mong i-solve ang x nang direkta.

$$x=-\frac{5}{2}+5.9$$

Idagdag ang 5.9 sa -\frac{5}{2} sa pamamagitan ng paghahanap ng common denominator at pagdadagdag sa mga numerator. Pagkatapos ay ibawas ang fraction sa lowest terms nito kung posible.

$$x=\frac{17}{5}$$

Nalutas na ang system.

$$x=\frac{17}{5},y=\frac{5}{2}$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Mga Matrix

Ilagay ang mga equation sa standard form at pagkatapos ay gumamit ng mga matrix para i-solve ang system ng mga equation.

$$x+y=5.9,2x+4y=16.8$$

Isulat ang mga equation sa matrix form.

$$\left(\begin{matrix}1&1\\2&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5.9\\16.8\end{matrix}\right)$$

I-multiply sa kaliwa ang equation sa pamamagitan ng inverse matrix ng \left(\begin{matrix}1&1\\2&4\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\2&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&1\\2&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\2&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5.9\\16.8\end{matrix}\right)$$

Ang product ng isang matrix at ang inverse nito ay ang identity matrix.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\2&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5.9\\16.8\end{matrix}\right)$$

I-multiply ang mga matrix sa kaliwang panig ng equal sign.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\2&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5.9\\16.8\end{matrix}\right)$$

Para sa 2\times 2 na matrix \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), ang inverse matrix ay \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), kaya maaaring muling isulat ang equation ng matrix bilang problema sa multiplication ng matrix.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{4-2}&-\frac{1}{4-2}\\-\frac{2}{4-2}&\frac{1}{4-2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5.9\\16.8\end{matrix}\right)$$

Gumamit ka ng arithmetic.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2&-\frac{1}{2}\\-1&\frac{1}{2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5.9\\16.8\end{matrix}\right)$$

I-multiply ang mga matrix.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\times 5.9-\frac{1}{2}\times 16.8\\-5.9+\frac{1}{2}\times 16.8\end{matrix}\right)$$

Gumamit ka ng arithmetic.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{17}{5}\\\frac{5}{2}\end{matrix}\right)$$

I-extract ang mga matrix element na x at y.

$$x=\frac{17}{5},y=\frac{5}{2}$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Elimination

Para mag-solve gamit ang elimination, ang mga coefficient ng isa sa mga variable ay dapat na magkatulad sa dalawang equation nang sa gayon ay magka-cancel out ang variable kapag na-substract ang equation sa kabila.

$$x+y=5.9,2x+4y=16.8$$

Para gawing magkatumbas ang x at 2x, i-multiply ang lahat ng term sa magkabilang dulo ng unang equation gamit ang 2 at lahat ng term sa magkabilang dulo ng pangalawa gamit ang 1.

$$2x+2y=2\times 5.9,2x+4y=16.8$$

Pasimplehin.

$$2x+2y=11.8,2x+4y=16.8$$

I-subtract ang 2x+4y=16.8 mula sa 2x+2y=11.8 sa pamamagitan ng pagsu-subtract ng mga katulad na term sa bawat dulo ng equal sign.

$$2x-2x+2y-4y=\frac{59-84}{5}$$

Idagdag ang 2x sa -2x. Naka-cancel out ang term na 2x at -2x ang isa\'t isa, at mag-iiwan ito ng equation na may isang variable lang na maaaring lutasin.

$$2y-4y=\frac{59-84}{5}$$

Idagdag ang 2y sa -4y.

$$-2y=\frac{59-84}{5}$$

Idagdag ang 11.8 sa -16.8 sa pamamagitan ng paghahanap ng common denominator at pagdadagdag sa mga numerator. Pagkatapos ay ibawas ang fraction sa lowest terms nito kung posible.

$$-2y=-5$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang -2.

$$y=\frac{5}{2}$$

I-substitute ang \frac{5}{2} para sa y sa 2x+4y=16.8. Dahil ang nagreresultang equation ay naglalaman lang ng isang variable, maaari mong i-solve ang x nang direkta.

$$2x+4\times \frac{5}{2}=16.8$$

I-multiply ang 4 times \frac{5}{2}.

$$2x+10=16.8$$

I-subtract ang 10 mula sa magkabilang dulo ng equation.

$$2x=6.8$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang 2.

$$x=3.4$$

Nalutas na ang system.

$$x=3.4,y=\frac{5}{2}$$